Hans Walser, [20100715a]
Dreiecksunterteilung
Anregung: I. L., B.
Wir
unterteilen die drei Seiten eines Dreieckes in den VerhŠltnissen und
, zeichnen die sechs zugehšrigen Ecktransversalen und untersuchen
die dadurch entstehenden Teilgebiete des Dreieckes.
Unterteilung
FŸr Fragen der Inzidenz (KollinearitŠt dreier Punkte und KopunktalitŠt dreier Geraden) sowie TeilverhŠltnisse auf einer Geraden und FlŠchenanteile von Polygonen kšnnen wir ausnŸtzen, dass jedes Dreieck affin regulŠr ist, das hei§t durch eine affine Abbildung auf ein regelmŠ§iges Dreieck abgebildet werden kann. Wir kšnnen also die entsprechenden Fragen beim regelmŠ§igen Dreieck untersuchen.
RegulŠrer Fall
Wir
arbeiten im Folgenden mit baryzentrischen Koordinaten mit der Festlegung ,
und
fŸr die
Dreiecksecken. Damit erhalten wir:
Baryzentrische Koordinaten, unnormiert
Blaue Koordinaten beziehen sich auf Punkte, rote Koordinaten auf Geraden. Die Koordinaten sind noch nicht normiert.
Wir
kšnnen aber schon mal zeigen, dass die sechs Punkte ,
,
,
,
und
jeweils auf
Seitenhalbierenden liegen. Es ist zum Beispiel:
und
Daher
sind die Punkte ,
,
kollinear und
ebenso die Punkte
,
,
(vgl. [Kennedy
1993]). Dies folgt wegen der affinen Invarianz auch direkt aus dem regulŠren
Fall.
Um LŠngenverhŠltnisse auf einer Geraden zu berechnen, benštigen wir normierte baryzentrische Koordinaten. Wir normieren wie folgt:
Wenn wir die normierten baryzentrischen Koordinaten als kartesische 3d-Koordinaten interpretieren, erhalten wir folgende Situation:
Darstellung im Raum
Die Figur
liegt in der Ebne . Es wird automatisch der Fall des regulŠren Dreiecks
dargestellt.
Aus SymmetriegrŸnden (in der Darstellung des regulŠren Dreiecks) sind die LŠngenverhŠltnisse auf vielen Geraden gleich. Wir haben im Prinzip nur drei Geradentypen: Dreiecksseiten, Seitenhalbierende, Ecktransversalen
Wir
bearbeiten die Dreiecksseite .
Dreiecksseite
Damit erhalten wir aber nur die Daten der Aufgabe.
Wir
bearbeiten die Seitenhalbierende .
Seitenhalbierende
Wir sehen
anhand der jeweiligen dritten Koordinaten (welche aufwŠrts von 0 bis 1 lŠuft),
dass der untere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem relativen Niveau , der Schwerpunkt auf dem relativen Niveau
und der obere
Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem relativen Niveau
liegt. FŸr den
Niveau-Unterschied der beiden Ecktransversalen-Schnittpunkte ergibt sich:
Das kann
auch so formuliert werden: Die Summe der LŠngen der der Mittelpunktsdiagonalen
des gelb markierten Sechseckes ist gleich mal die Summe der
SeitenhalbierendenlŠngen.
Sechseck in der Mitte
Zahlenbeispiele:
FŸr ,
, das hei§t beim Dritteln der Dreiecksseiten ist der untere
Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau
und der obere Ecktransversalen-Schnittpunkt
auf dem Niveau
(also auf der
Mittelparallel des Dreiecks). Niveau-Unterschied
.
FŸr ,
, das hei§t beim Vierteln der Dreiecksseiten ist der untere
Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau
und der obere Ecktransversalen-Schnittpunkt
auf dem Niveau
. Niveau-Unterschied
.
Wir
bearbeiten die Ecktransversale .
Ecktransversale
FŸr die Punkte haben wir von unten nach oben die relativen Niveaus (dritte Koordinate):
FŸr die auf dieser Ecktransversalen liegende Seite des oben gelb markierten erhalten wir die Niveaudifferenz:
Somit ist
der Umfang dieses Sechseckes gleich mal die Summe der
LŠngen aller sechs Ecktransversalen.
Der
Faktor ist halb so gro§
wie der Faktor
, den wir bei den LŠngen der Mittelpunktsdiagonalen
angetroffen haben. Es ist aber zu beachten, dass diese Faktoren sich auf
unterschiedlich lange Strecken beziehen.
Wenn wir
den FlŠcheninhalt des Basisdreieckes auf 1 normieren, kann der FlŠchenanteil
eines Dreiecks DEF mit den normierten
baryzentrischen Eckpunktskoordinaten ,
,
mit der
Determinante
berechnet werden. Um das einzusehen, denken wir uns in der Darstellung im Raum eine Pyramide Ÿber dem Dreieck DEF mit der Spitze im Ursprung des rŠumlichen Koordinatensystems. Da alle solche Pyramiden, einschlie§lich der Pyramide Ÿber dem Basisdreieck, dieselbe Hšhe haben, entsprechen die VolumenverhŠltnisse den GrundflŠchenverhŠltnissen.
Im regulŠren Dreieck sehen wir, dass jeder FlŠchenanteil sechs Mal erscheint.
FlŠchenunterteilung
Das gelbe
Dreieck rechts unten hat die Eckpunktskoordinaten ,
und
. FŸr seinen FlŠchenanteil erhalten wir:
Analog kšnnen wir die Ÿbrigen FlŠchenanteile berechnen. Wir erhalten:
Gelbes Dreieck |
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Rotes Dreieck |
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GrŸnes Dreieck |
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Hellblaues Viereck |
|
Violettes Dreieck |
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Summe |
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Farbe \
p und q |
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Stichwort |
Dritteln |
Vierteln |
FŸnfteln 1 |
FŸnfteln 2 |
Siebteln 2 |
Gelbes Dreieck |
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Rotes Dreieck |
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GrŸnes Dreieck |
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Hellblaues Viereck |
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Violettes Dreieck |
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|
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Summe |
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Bei (FŸnfteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Drittel der
DreiecksflŠche.
Ein Drittel ist gelb
Bei (Siebteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Sechstel der
DreiecksflŠche.
Ein Sechstel ist gelb
Farbe \
p und q |
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Stichwort |
Goldener Schnitt |
DIN-Format |
Gelbes Dreieck |
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Rotes Dreieck |
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GrŸnes Dreieck |
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Hellblaues Viereck |
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Violettes Dreieck |
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Summe |
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Wir
wollen erreichen, dass das gelbe zentrale Sechseck einen vorgegebenen FlŠchenanteil
des Dreiecks hat, zum Beispiel die HŠlfte. Mit der Normierung erhalten wir
dafŸr die Bedingung:
Farbe \
p und q |
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Sechsecksgrš§e |
Halbes Dreieck |
Gelbes Dreieck |
|
Rotes Dreieck |
|
GrŸnes Dreieck |
|
Hellblaues Viereck |
|
Violettes Dreieck |
|
Summe |
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Im folgenden Beispiel soll das gelbe zentrale Sechseck einen Viertel der DreiecksflŠche ausmachen.
Farbe \
p und q |
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Sechsecksgrš§e |
Viertel des Dreieckes |
Gelbes Dreieck |
|
Rotes Dreieck |
|
GrŸnes Dreieck |
|
Hellblaues Viereck |
|
Violettes Dreieck |
|
Summe |
|
Literatur
[Kennedy 1993] Kennedy, Joe: (Responds to) MarionÕs Theorem. Math. Teacher 86, 1993, p. 619