Hans Walser, [20170902]
Dreiecksunterteilung mit Seitenhalbierenden
Anregung: Hšlzl 2017
1 Worum geht es?
Wir unterteilen ein Dreieck mit einer Seitenhalbierenden und iterieren den Prozess.
2 Unterteilungsmšglichkeiten
Wir zeichnen nur eine Seitenhalbierende ein (Abb. 1). Die Teildreiecke haben unterschiedliche Form, aber den gleichen FlŠcheninhalt.
Abb. 1: Unterteilung mit Seitenhalbierender
FŸr den zweiten Unterteilungsschritt gibt es mehrere Mšglichkeiten.
2.1 FŠcher
Wir zeichnen bei den beiden nachfolgenden Unterteilungen die Seitenhalbierenden von derselben Ecke aus wie bei der vorangehenden Unterteilung. Es entsteht ein FŠcher (Abb. 2). Bisschen langweilig.
Abb. 2: FŠcher
2.2 Raster
Bei den nachfolgenden Unterteilungen zeichnen wir die Seitenhalbierenden von der Seitenmitte der vorangehenden Unterteilung aus. Es entsteht ein Dreiecksraster (Abb. 3). Nicht sonderlich interessant.
Abb. 3: Raster
2.3 Gegenpunkt
Bei den nachfolgenden Unterteilungen zeichnen wir die Seitenhalbierenden vom Gegenpunkt der vorangehenden Unterteilungsseitenhalbierenden aus (Abb. 4).
Abb. 4: Etwas Neues
Das sieht nun interessanter aus.
Die Abbildung 5 zeigt die siebte Unterteilung nach diesem Verfahren.
Abb. 5: Siebte Unterteilung
2.4 Kombinationen
2.4.1 FŠcher und Raster
Wir kombinieren FŠcher und Raster (Abb. 6). Es entstehen innere Teilpunkte, an denen drei Teildreiecke zusammenkommen. Wir brŠuchten mehr als zwei Farben, um das wie eine Landkarte zu kolorieren.
Abb. 6: FŠcher und Raster
2.4.2 FŠcher und Gegenpunkt
Abb. 7: FŠcher und Gegenpunkt
Auch hier kommen wir nicht mehr mit zwei Farben aus.
2.4.3 Raster und Gegenpunkt
Abb. 8: Raster und Gegenpunkt
3 Gleichseitiges Dreieck
Das Unterteilen mit Seitenhalbierenden ist affin invariant. Wir kšnnen also die bisherigen Unterteilungen auf ein gleichseitiges Dreieck affin abbilden.
Die Abbildung 9 zeigt die siebte Unterteilung (vgl. Abb. 5) fŸr ein gleichseitiges Dreieck.
Abb. 9: Gleichseitiges Dreieck
Die Figur hat nicht die dreiteilige Rotationssymmetrie wie das gleichseitige Dreieck. Das liegt daran, dass durch die erste Seitenhalbierende die Rotationssymmetrie zerstšrt wird.
Wir kšnnen sechs Exemplare der Abbildung 9 zu einem Sechseck zusammenfŸgen (Abb. 10).
Abb. 10: Sechseck
In der Abbildung 11 ist aus einer vereinfachten Version (nur 5 Unterteilungen) ein Bienenwabenmuster gelegt.
Abb. 11: Bienenwabenmuster
In [1] wird die iterierte Unterteilung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Hšhe besprochen.
Literatur
Hšlzl, Reinhard (2017): Dreiecke in Dreiecke zerlegen. Welche Eigenschaften und ZusammenhŠnge findest du? mathematik lehren 201 | 2017, 12-15.
Websites
[1] Hans Walser: Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung (abgerufen 3.9.2017):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreiecksunterteilung2/Dreiecksunterteilung2.htm