Hans Walser, [20260408]

Dreiecksunterteilung

Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz, Aufgabe 72 – 857

1     Worum es geht

Ein gleichseitiges Dreieck wird in n2 kleine gleichseitige Dreiecke unterteilt. Es werden Färbungsmöglichkeiten unter Beibehaltung gewisser Symmetrien untersucht.

2     Das Problem der Mitte

Die Abbildung 1 zeigt die Unterteilungen für n = 1, 2, ... , 9.

Abb. 1: Das Problem der Mitte

In der Mitte des großen Dreiecks haben wir entweder ein kleines Dreieck mit der Spitze nach oben (rot, Haifischflosse), nämlich für n = 1, 4, 7, oder ein Dreieck mit der Spitze nach unten (grün, Haifischzahn), nämlich für n = 2, 5, 7, oder aber gar kein Dreieck, sondern lediglich einen Gitterpunkt, nämlich für n = 3, 6, 9.

Offenbar gilt allgemein folgende Fallunterscheidung:

 

            n mod 3 = 1    →        in der Mitte ein rotes Dreieck mit der Spitze nach oben

 

            n mod 3 = 2    →        in der Mitte ein grünes Dreieck mit der Spitze nach unten

 

n mod 3 = 0    →        in der Mitte ein Gitterpunkt

 

Beweis induktiv. Beim Übergang von n auf n + 1 wächst die Höhe des großen Dreiecks um eine Höhe der kleinen Dreiecke. Entsprechend wird der Mittelpunkt um einen Drittel der Höhe eines kleinen Dreieckes nach oben verschoben. Dies ist kompatibel mit den Mittelpunkten eines Gitterpunktes, eines roten Dreiecks mit der Spitze nach oben und eines grünen Dreiecks mit der Spitze nach unten.

3     Färbungen

Wir färben die kleinen Dreiecke mit der Spitze nach oben rot, diejenigen mit der Spitze nach unten grün.

3.1     n = 1

Ein einzelnes Dreieck können wir entweder färben oder nicht (Abb. 2).

Abb. 2: n = 1

3.2     n = 2

Für n = 2 gibt es 24 = 16 Möglichkeiten (Abb. 3).

Abb. 3: n = 2

Von diesen 16 Möglichkeiten haben aber nur 4 dieselben Symmetrien wie das große Dreieck (Abb. 4), nämlich drei Symmetrieachsen und eine dreiteilige Drehsymmetrie.

Abb. 4: Symmetrien

3.3     Allgemein

Allgemein gibt es für n insgesamt

 

           

 

Möglichkeiten.

Bemerkung zur Schreib- und Rechentechnik: Das Potenzieren ist weder kommutativ noch assoziativ. So ist zum Beispiel:

 

           

 

           

 

3.4     n = 3

Für n = 3 gibt es

 

           

 

Möglichkeiten.

Die Abbildung 5 beschränkt sich auf die 8 Färbungen mit denselben Symmetrien wie das große Dreieck.

Abb. 5: n = 3. Symmetrien

3.5     n = 4

Für n = 4 gibt es

 

           

 

Möglichkeiten.

Die Abbildung 6 beschränkt sich auf die 64 Färbungen mit einer dreiteiligen Drehsymmetrie.

Abb. 6: n = 4. Drehsymmetrien

Nur die Hälfte davon hat zusätzlich auch Symmetrieachsen und damit dieselben Symmetrien wie das große Dreieck (Abb. 7).

Abb. 7: Symmetrien des großen gleichseitigen Dreiecks

4     Anzahl Färbungen

4.1     Allgemein

Allgemein gibt es für n insgesamt

 

           

 

Möglichkeiten.

4.2     Dreiteilige Rotationssymmetrie

4.2.1    n mod 3 = 1

Es ist n = 3k + 1, k = 0, 1, ... . In der Abbildung 8 sind die Dreiecke mit Ausnahme des zentralen roten Dreiecks in drei rotationssymmetrisch liegende Trapeze eingeteilt.

Abb. 8: n mod 3 = 1

Das gelbe Trapez hat die Grundlinie n – k = 2k +1 und die Decklinie n – 2k = k + 1 sowie die „Höhe“ k. Die Anzahl der kleinen Dreiecke ist, in Worten ausgedrückt: 2 mal Mittellinie mal „Höhe“, also (3k + 2)k = 3k2 + 2k.

Wegen n = 3k + 1 ist 3k2 + 2k = ⅓(n2 – 1). 

Wir können jedes kleine Dreieck im gelben Trapez entweder färben oder nicht, es gibt dazu also

 

           

 

Möglichkeiten. Wegen der dreiteiligen Rotationssymmetrie sind damit auch die Färbungsmöglichkeiten des hellblauen und des magenta Trapezes festgelegt. Hingegen können wir noch das zentrale rote Dreieck entweder färben oder nicht. Somit ist die Gesamtzahl der Färbungsmöglichkeiten:

 

           

 

Keine Angst vor der dritten Wurzel, n2 + 2 ist in unserem Fall durch 3 teilbar. Für zum Beispiel n = 4 erhalten wir (vgl. Abb. 6):

 

           

 

4.2.2    n mod 3 = 2 

Es ist also n = 3k + 2, k = 0, 1, ... . In der Abbildung 9 sind die Dreiecke mit Ausnahme des zentralen grünen Dreiecks in drei rotationssymmetrisch liegende Trapeze eingeteilt.

Abb. 9: n mod 3 = 2

Das gelbe Trapez hat die Grundlinie n – k – 1 = 2k + 1 und die Decklinie k sowie die „Höhe“ k + 1. Die Anzahl der kleinen Dreiecke ist, in Worten ausgedrückt: 2 mal Mittellinie mal „Höhe“, also (3k + 1)(k + 1) = 3k2 + 4k + 1.

Wegen n = 3k + 2 ist 3k2 + 4k + 1 = ⅓(n2 – 1).  Bemerkung: dies ist dasselbe Resultat wie im Fall n mod 3 = 1. Somit geht es gleich weiter.

Wir können jedes kleine Dreieck im gelben Trapez entweder färben oder nicht, es gibt dazu also

 

           

 

Möglichkeiten. Wegen der dreiteiligen Rotationssymmetrie sind damit auch die Färbungsmöglichkeiten des hellblauen und des magenta Trapezes festgelegt. Hingegen können wir noch das zentrale rote Dreieck entweder färben oder nicht. Somit ist die Gesamtzahl der Färbungsmöglichkeiten:

 

           

 

Für n = 2 gibt es also 4 Möglichkeiten (vgl. Abb. 4).

4.2.3    n mod 3 = 0

Es ist n = 3k, k = 1, 2,  ... . In der Abbildung 10 sind die Dreiecke in drei rotationssymmetrisch liegende Trapeze eingeteilt.

Abb. 10: n mod 3 = 0

Das gelbe Trapez hat die Grundlinie n – k = 2k und die Decklinie k sowie die „Höhe“ k. Die Anzahl der kleinen Dreiecke ist, in Worten ausgedrückt: 2 mal Mittellinie mal „Höhe“, also 3k•k = 3k2.

Wegen n = 3k ist 3k2 = ⅓n2. Wir können jedes kleine Dreieck im gelben Trapez entweder färben oder nicht, es gibt dazu also

 

           

 

Möglichkeiten. Wegen der dreiteiligen Rotationssymmetrie sind damit auch die Färbungsmöglichkeiten des hellblauen und des magenta Trapezes festgelegt.

Für n = 3 ergeben sich 8 Möglichkeiten (vgl. Abb. 5. Interessanterweise haben alle 8 Möglichkeiten bereits auch die Symmetrien des großen Dreiecks).

4.2.4    Tabelle

Die Tabelle 1 gibt die Anzahl der Färbungen mit dreiteiliger Drehsymmetrie in Abhängigkeit von n. Da es sich um Zweierpotenzen handelt, ist auch der Exponent zur Basis zwei angegeben. Wir sehen ein Muster in den Zuwächsen.

 

n

Anzahl Möglichkeiten

Exponent zur Basis 2

Zuwachs

1

2

1

 

2

4

2

1

3

8

3

1

4

64

6

3

5

512

9

3

6

4096

12

3

7

131072

17

5

8

4194304

22

5

9

134217728

27

5

10

17179869184

34

7

11

2199023255552

41

7

12

281474976710656

48

7

Tab. 1: Anzahl Färbungen mit dreiteiliger Drehsymmetrie

4.3     Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks

4.3.1    n mod 3 = 1

Auf Grund der Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks können und müssen wir uns beim Auszählen der Möglichkeiten auf die in der Abbildung 11 markierten kleinen Dreiecke beschränken.

Abb. 11: n mod 3 = 1

Wir haben in der Mitte ein rotes Dreieck.

Die Anzahl der grauen Dreiecke ist n – 1.

Für das Auszählen der gelben Dreiecke markieren wir einen Sechstel des großen Dreiecks (blau in Abb. 12). Flächenmäßig enthält dieser Sechstel ⅙n2 kleine Dreiecke. Dazu gehören ein Sechstel des zentralen roten Dreiecks und die Hälfte der grauen Dreiecke sowie alle gelben Dreiecke.

Abb. 12: Ein Sechstel

Die Anzahl der gelben Dreiecke ist somit:

 

           

 

Die Anzahl der markierten kleinen Dreiecke ist daher:

 

           

 

Die Anzahl der Färbungsmöglichkeiten ist somit:

 

           

 

Für n = 1 ergeben sich 21 = 2 Möglichkeiten (vgl. Abb. 2). Für n = 4 ergeben sich 25 = 32 Möglichkeiten (vgl. Abb. 7).

 

4.3.2    n mod 3 = 2

Auf Grund der Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks können und müssen wir uns beim Auszählen der Möglichkeiten auf die in der Abbildung 13 markierten kleinen Dreiecke beschränken.

Abb. 13: n mod 3 = 2

Wir haben in der Mitte ein grünes Dreieck.

Die Anzahl der grauen Dreiecke ist n – 1.

Für das Auszählen der gelben Dreiecke markieren wir einen Sechstel des großen Dreiecks (blau in Abb. 13). Flächenmäßig enthält dieser Sechstel ⅙n2 kleine Dreiecke. Dazu gehören ein Sechstel des zentralen grünen Dreiecks und die Hälfte der grauen Dreiecke sowie alle gelben Dreiecke.

Die Anzahl der gelben Dreiecke ist somit wiederum:

 

           

 

Die Anzahl der markierten kleinen Dreiecke ist:

 

           

 

Die Anzahl der Färbungsmöglichkeiten ist somit erneut:

 

           

 

4.3.3    n mod 3 = 0

Auf Grund der Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks können und müssen wir uns beim Auszählen der Möglichkeiten auf die in der Abbildung 14 markierten kleinen Dreiecke beschränken.

Abb. 14: n mod 3 = 0

Wir haben n graue Dreiecke.

Für die Anzahl der gelben Dreiecke erhalten wir:

 

           

 

Die Anzahl der markierten kleinen Dreiecke ist:

 

           

 

Die Anzahl der Färbungsmöglichkeiten ist somit:

 

           

 

Für n = 3 ergeben sich 23 = 8 Möglichkeiten (vgl. Abb. 5).

Die Abbildung 15 zeigt ein Beispiel für n = 9.

Abb. 15: Beispiel für n = 9

4.3.4    Tabelle

Die Tabelle 1 gibt die Anzahl der Färbungen mit dreiteiliger Drehsymmetrie in Abhängigkeit von n. Da es sich um Zweierpotenzen handelt, ist auch der Exponent zur Basis zwei angegeben. Wir sehen ein Muster in den Zuwächsen.

 

n

Anzahl Möglichkeiten

Exponent zur Basis 2

Zuwachs

1

2

1

 

2

4

2

1

3

8

3

1

4

32

5

2

5

128

7

2

6

512

9

2

7

4096

12

3

8

32768

15

3

9

262144

18

3

10

4194304

22

4

11

67108864

26

4

12

1073741824

30

4

Tab. 2: Anzahl Färbungen mit den Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks

Weblinks

Thomas Jahre, Aufgabe 72 – 857

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html