Hans Walser, [20210529]
Dreitafelprojektion
Idee und Anregung: Hans-JŸrgen Elschenbroich
Frage: Kann man aus den Dreitafel-Ansichten eines Kšrpers den Kšrper rekonstruieren?
Die Antwort ist nein. Es werden Gegenbeispiele gezeigt. Ein Gegenbeispiel handelt von Polyedern.
Die Ansicht der Kugel ist in allen drei Rissen (Grund-, Auf- und Seitenriss) ein Kreis. Die Umkehrung gilt nicht. Es gibt noch andere Kšrper mit je einem Kreis in den drei Rissen.
Als Beispiel starten wir mit einer Kugel und bringen nun in jedem Oktanten eine kleine Delle an (Abb. 1). Die Dellen treffen also weder den €quator noch die Meridiane fŸr 0¡, 90¡, 180¡, 270¡.
Man denkt dabei unwillkŸrlich an ãKugelnÒ aus Knetmaterial oder an einen Gummiball, der nicht mehr gut aufgepumpt ist.
Die Dellen sollen so klein sein, dass in einem Punkt auf der OberflŠche (ausgenommen Punkte auf dem €quator oder den Meridianen fŸr 0¡, 90¡, 180¡, 270¡) die Tangentialebene weder erst-, noch zweit- noch drittprojizierend ist. Daher entstehen in den drei Rissen keine zusŠtzlichen sichtbare Kanten.
Abb. 1: Kugel mit Dellen
In der Abbildung 2 wird der Kšrper gedreht.
Abb. 2: Rotation
Die Abbildung 3 zeigt nun die drei Risse. Der Umriss ist in allen Rissen ein Kreis. Wir sehen zwar die Dellen, aber die Umrisse sind Ÿberall Kreise.
Abb. 3: Risse
Die Abbildung 4 zeigt drei Rotations-Hyperboloide mit gleichseitigen Hyperbeln mit Kehlkreisradius 1 als Meridiankurven. Die Drehachsen sind paarweise orthogonal.
Abb. 4: Rotations-Hyperboloide
In der Abbildung 5 sind die drei Hyperboloide mit gemeinsamem Zentrum gezeichnet. Die Koordinatenachsen sind auch die Rotationsachsen
Abb. 5: Gemeinsames Zentrum
Wir bilden nun den Durchschnitt aller drei Hyperboloide (Abb. 6). Es entsteht ein Stern. Er erinnert an den Kepler-Stern (stella octangula).
Abb. 6: Hyperboloid-Stern
Die Abbildung 7 gibt die drei Risse.
Abb. 7: Risse
Bei einem WŸrfel entfernen wir von jeder SeitenflŠche aus eine Pyramide, deren Spitz der WŸrfelmittelpunkt ist. Die Abbildung 8 illustriert die ersten drei von sechs Schritten.
Abb. 8: Pyramiden entfernen
Das Restpolyeder hat das Volumen null. Es besteht nur noch aus den PyramidenwŠnden.
Die Abbildung 9 zeigt ein Papiermodell, gebaut aus gefalteten DIN A6 Papieren und BŸroklammern.
Abb. 9: Papiermodell
Die drei Risse (Abb. 10) sind identisch mit den Rissen der Abbildung 7, obwohl es sich um ganz verschiedene Figuren handelt.
Abb. 10: Risse
Die Abbildung 11 gibt einen halben WŸrfel, wie in der Abbildung 12 illustriert wird.
Abb. 11: Halber WŸrfel
Abb. 12: Andere Sichten des halben WŸrfels
Zwei solche halbe WŸrfel kšnnen zu einem ganzen WŸrfel zusammengefŸgt werden.
Bei den Rissen (Abb. 13) sehen wir dieselben Umrisse wie bei den Abbildungen 7 und 10.
Abb. 13: Risse
Der Vergleich der Beispiele der Abbildungen 10 und 13 zeigt, dass auch verschiedene Polyedern gleiche Risse haben kšnnen.
Dieses Beispiel verdanke ich Hans-JŸrgen Elschenbroich.
Die Abbildungen 14 und 15 zeigen das Konoid.
Abb. 14: Konoid
Abb. 15: Drehen des Konoides
Beim Konoid ist die OberflŠche (vom Bodenkreis abgesehen) eine RegelflŠche (ruler surface), hat also eine negative Gau§sche FlŠchenkrŸmmung und ist nicht in die Ebene abwickelbar. Ein Papiermodell ist nicht mšglich. Die approximative Herstellung aus homogenem Material braucht eine CNC-FrŠse. Die horizontalen Querschnitte sind Ellipsen. Die lange Halbachse ist dabei konstant, die kurze Halbachse nimmt nach oben linear ab von der LŠnge der langen Halbachse bis zu null. Daher kann das Volumen nach dem Prinzip von Cavalieri sehr einfach berechnet werden. Wie gro§ ist es? Vergleich mit Zylinder und Kegel?
Die Abbildung 16 zeigt die drei Risse. Die Umrisse sin ein Kreis, ein gleichschenkliges Dreieck und ein Quadrat.
Abb. 16: Risse
Die Abbildungen 17 und 18 zeigen den sogenannten Allzweckstšpsel (Bezeichnung von George P—lya).
Abb. 17: Allzweckstšpsel
Abb. 18: Drehen des Allzweckstšpsels
Beim Allzweckstšpsel sind alle OberflŠchen eben oder zylindrisch, also in die Ebene abwickelbar (Gau§sche FlŠchenkrŸmmung null). Er ist daher mit Drehbank und KreissŠge machbar. In der Heimwerker-Werkstatt kann man den Stšpsel aus einem alten Besenstiel herausschneiden. Das Papiermodell ist recht einfach. Das ãDach" ist eine gefaltete Ellipse. Der obere Rand des abgewickelten Mantels ist aus Sinuskurven zusammengesetzt.
Die Abbildung 19 zeigt die drei Risse.
Abb. 19: Risse
Die Risse der Abbildungen 16 und 19 haben zwar entsprechend dieselben Umrisse, aber im Seitenriss des Allzweckstšpsels ist zusŠtzlich eine elliptische Kante sichtbar.
Beide Kšrper passen sowohl in ein rundes, ein quadratisches und ein dreieckiges Loch.
Websites
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoid 2
https://www.geogebra.org/m/gqfnnhfe
Hans-JŸrgen Elschenbroich: Konoidmantel
https://www.geogebra.org/m/y57fhddh
Hans Walser: Hyperboloid-Stern
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hyperboloid-Stern/Hyperboloid-Stern.htm