Hans Walser, [20101114c]

Dritteln der Dreiecksseiten

Anregung: I. L., B.

1        Worum geht es?

Wir dritteln zyklisch die drei Seiten eines Dreiecks . Den ersten Drittelspunkt auf der Seite  (zyklische Indizierung) sei  (Abbildung). Weiter sei  der Schnittpunkt der beiden Ecktransversalen  und .

 

Dritteln der Dreiecksseiten

 

Dann gilt ([Johnston 1992], [Sielaff/ Usbeck 1994], [Steinhaus 1959]):

Das Dreieck  bedeckt flŠchenmŠ§ig einen Siebtel der DreiecksflŠche .

2        Beweise

2.1      Rasterung

Die Situation passt in ein Dreiecksraster mit 49 kongruenten, zum Ausgangsdreieck  Šhnlichen Dreiecken (Abbildung).

Dass die Sache mit der Drittelung der Dreiecksseiten stimmt, sehen wir exemplarisch an der grŸn eingezeichneten Referenzzeile.

 

Rasterung

 

Aus diesem Raster kšnnen wir die TeilverhŠltnisse auf den Ecktransversalen ablesen.

Wir sehen auch noch ein ãspiegelbildlichesÒ (SchrŠgspiegelung an Seitenhalbierenden) Dreieck, das natŸrlich denselben FlŠcheninhalt hat wie das rote Dreieck .

2.2      ãKleinerÒ Zerlegungsbeweis

 

ãKleinerÒ Zerlegungsbeweis

 

Wir arbeiten mit den Dreiecken des Rasters als Ma§einheit. Diese messen je  der FlŠche des Ausgangsdreiecks . In der Abbildung sind drei magenta Parallelogramme eingezeichnet, welche je vier Rasterdreiecke umfassen. FlŠchenmŠ§ig liegt jeweils genau die HŠlfte dieser Parallelogramme im Innern des roten Dreiecks . ZusŠtzlich haben wir in der Mitte des roten Dreiecks  noch ein einzelnes Rasterdreieck. FŸr die FlŠche des roten Dreiecks  erhalten wir somit  Rasterdreiecke, also eine Siebtel des Ausgangsdreiecks .

2.3      ãGro§erÒ Zerlegungsbeweis

 

ãGro§erÒ Zerlegungsbeweis

 

Wir expandieren das rote Dreieck  zu einem Raster. Das ursprŸngliche Dreieck  passt in dieses gro§e Raster. Das gro§e Raster enthŠlt drei magenta Parallelogramme aus je vier Rasterdreiecken, welche je zur HŠlfte das Ausgangsdreieck  bedecken. ZusŠtzlich haben wir im Innern das ursprŸngliche Rasterdreieck . Das Ausgangsdreieck  besteht also flŠchenmŠ§ig aus  Rasterdreiecken.

Literatur

[Johnston 1992]         Johnston, W. I.: Mathematics Teacher 85(2), 1992, Titelbild sowie S. 89, 92, 598.

[Sielaff/ Usbeck 1994] Sielaff, K. / Usbeck, F. W.: Hamburger SchŸlerzirkel Mathematik 1991-93. Hamburg, Hereus, 1994. S. 176-177.

[Steinhaus 1959]        Steinhaus, H.: Kaleidoskop der Mathematik. Berlin: DVW,1959. S. 17.