Hans Walser, [20101114c]
Dritteln der Dreiecksseiten
Anregung: I. L., B.
Wir
dritteln zyklisch die drei Seiten eines Dreiecks . Den ersten Drittelspunkt auf der Seite
(zyklische
Indizierung) sei
(Abbildung).
Weiter sei
der Schnittpunkt
der beiden Ecktransversalen
und
.
Dritteln der Dreiecksseiten
Dann gilt ([Johnston 1992], [Sielaff/ Usbeck 1994], [Steinhaus 1959]):
Das
Dreieck bedeckt flŠchenmŠ§ig einen Siebtel der
DreiecksflŠche
.
Die
Situation passt in ein Dreiecksraster mit 49 kongruenten, zum Ausgangsdreieck Šhnlichen
Dreiecken (Abbildung).
Dass die Sache mit der Drittelung der Dreiecksseiten stimmt, sehen wir exemplarisch an der grŸn eingezeichneten Referenzzeile.
Rasterung
Aus diesem Raster kšnnen wir die TeilverhŠltnisse auf den Ecktransversalen ablesen.
Wir sehen
auch noch ein ãspiegelbildlichesÒ (SchrŠgspiegelung an Seitenhalbierenden)
Dreieck, das natŸrlich denselben FlŠcheninhalt hat wie das rote Dreieck .
ãKleinerÒ Zerlegungsbeweis
Wir
arbeiten mit den Dreiecken des Rasters als Ma§einheit. Diese messen je der FlŠche des
Ausgangsdreiecks
. In der Abbildung sind drei magenta Parallelogramme
eingezeichnet, welche je vier Rasterdreiecke umfassen. FlŠchenmŠ§ig liegt
jeweils genau die HŠlfte dieser Parallelogramme im Innern des roten Dreiecks
. ZusŠtzlich haben wir in der Mitte des roten Dreiecks
noch ein
einzelnes Rasterdreieck. FŸr die FlŠche des roten Dreiecks
erhalten wir
somit
Rasterdreiecke,
also eine Siebtel des Ausgangsdreiecks
.
ãGro§erÒ Zerlegungsbeweis
Wir
expandieren das rote Dreieck zu einem Raster.
Das ursprŸngliche Dreieck
passt in dieses
gro§e Raster. Das gro§e Raster enthŠlt drei magenta Parallelogramme aus je vier
Rasterdreiecken, welche je zur HŠlfte das Ausgangsdreieck
bedecken.
ZusŠtzlich haben wir im Innern das ursprŸngliche Rasterdreieck
. Das Ausgangsdreieck
besteht also flŠchenmŠ§ig
aus
Rasterdreiecken.
Literatur
[Johnston 1992] Johnston, W. I.: Mathematics Teacher 85(2), 1992, Titelbild sowie S. 89, 92, 598.
[Sielaff/ Usbeck 1994] Sielaff, K. / Usbeck, F. W.: Hamburger SchŸlerzirkel Mathematik 1991-93. Hamburg, Hereus, 1994. S. 176-177.
[Steinhaus 1959] Steinhaus, H.: Kaleidoskop der Mathematik. Berlin: DVW,1959. S. 17.