Hans Walser, [20070401a]

Dritteln durch Halbieren

1        Fragestellung

Wie kann eine Strecke AB gedrittelt werden, wenn folgende Hilfsmittel zur Verfźgung stehen?

-    Halbieren einer Strecke

-    Gerade durch zwei Punkte

-    Schneiden zweier Geraden

2        Der mźhsame Weg źbers Unendliche

Wir halbieren die Strecke AB und nennen den Mittelpunkt . Dann sei  der Mittelpunkt der Strecke ;  der Mittelpunkt der Strecke  und allgemein  der Mittelpunkt der Strecke . Ferner sei . Dieser Punkt D drittelt die Strecke AB.

Fortgesetztes halbieren

Der Beweis geht źber die geometrische Folge. Wir setzen  und erhalten:

Dieses Verfahren ist in der Theorie exakt, in der Praxis kšnnen wir nur nŠherungsweise arbeiten.

3        Der elegante Weg

Wir wŠhlen einen Hilfspunkt H au§erhalb der Geraden AB. Dann sei  der Mittelpunkt der Strecke BH und  der Mittelpunkt der Strecke . Die Gerade  schneidet AB im Drittelspunkt D.

Zwei Mal halbieren

Wenn wir noch einmal mehr halbieren, ergibt sich der zweite Drittelspunkt.

Drei Mal halbieren

Jetzt sehen wir auch sofort, wie die Sache zu beweisen ist, nŠmlich mit StrahlensŠtzen.

4        Verdoppeln

Natźrlich geht es auch mit Verdoppeln, genauer: mit Punktspiegeln. Wir wŠhlen wiederum einen Hilfspunkt H. Dann Spiegeln wir A an H und erhalten . Nun spiegeln wir B an  und erhalten .  Nun spiegeln wir noch A an  und erhalten . Die Gerade  schneidet AB im Drittelspunkt D, die Gerade  schneidet AB im anderen Drittelspunkt E.

Verdoppeln

5        Dritteln

Nehmen wir an, wir hŠtten statt einem Halbierungswerkzeug ein Drittelungswerkzeug. Dieses Drittelungswerkzeug haben wir ja nach unseren †berlegungen mit dem Halbierungswerkzeug ebenfalls zur Verfźgung. Was kšnnen wir damit tun?

Wie Figura zeigt, kšnnen wir die Strecke AB nun vierteln.

Drei Mal dritteln ergibt vierteln

Wir kšnnen aber auch fźnfteln.

Vier Mal dritteln ergibt fźnfteln

Allgemein: Mit einem Werkzeug, welches eine Strecke in n Teile teilen kann, kšnnen wir eine Strecke auch in  Teile teilen.

Damit folgt induktiv, dass wir mit eine Halbierungswerkzeug eine Strecke in beliebig viele Teile teilen kšnnen.