Hans Walser, [20231005]
Dualsystem
Anregung: Jo Niemeyer, Berlin
1 Worum es geht
Visualisierung des Dualsystems für Zahlen zwischen null und eins.
2 Im Raster
Die ersten 100 Stellen nach dem Dualpunkt werden in einem 10×10-Raster dargestellt. Zeilenweise, links oben beginnend. Nullen rot, Einsen blau.
Diese Darstellung ist willkürlich, in einem anderen Raster sähen die Bilder anders aus.
3 Beispiele
3.1 Rationale Zahlen
Rationale Zahlen sind entweder abbrechend (Nenner eine Zweierpotenz) oder periodisch.
3.1.1 Grenzfälle
3.1.1.1 Null
0
Abb. 1: Null
3.1.1.2 Eins
Da kann man diskutieren.
0.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Abb. 2: Eins
3.1.2 Stammbrüche
3.1.2.1 ½
Abbrechend
0.1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Abb. 3: ½
3.1.2.2 1/3
Periodisch
0.0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
Abb. 4: 1/3
3.1.2.3 ¼
Abbrechend
0.0100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Abb. 5: ¼
3.1.2.4 1/5
Periodisch. Im Unterschied zum Dezimalsystem ist im Dualsystem der Fünftel periodisch.
0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011
Abb. 6: 1/5
3.1.2.5 1/6
Periodisch, mit Vorperiode
0.0010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
Abb. 7: 1/6
3.1.2.6 1/7
Periodisch
0.0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010
Abb. 8: 1/7
3.1.2.7 Stammbrüche von ½ bis 1/128
Abb. 9: Stammbrüche
3.1.2.8 Kreis
Zahl = 3723812792943980002517590275 / 79228162514264337593543950336
Nenner = 2^96 = 79228162514264337593543950336
0.0000110000001000010001000000100000000000100000000110000000010000000000010000001000100001000000110000
Abb. 10: Kreis
3.2 Irrationale Zahlen
Die Häufigkeit der Einsen schwankt um 50%.
3.2.1 Algebraisch irrationale Zahlen
3.2.1.1 1/√2
0.1011010100000100111100110011001111111001110111100110010010000100010110010111110110001001101100110111
Anzahl Einsen = 54
Abb. 11: 1/√2
3.2.1.2 1/√3
0.1001001111001101001110100010110010000001100110001110001001101001000011000111110000001111001001010111
Anzahl Einsen = 46
Abb. 12: 1/√3
3.2.1.3 Kehrwerte von Wurzeln
Von 1/√2 bis 1/√100. Man beachte, dass darin auch rationale Zahlen vorkommen.
Abb. 13: Wann gibt es ein schönes Muster?
3.2.1.4 Goldener Schnitt
0.1001111000110111011110011011100101111111010010100111110000010101111100111001110011000000011000000101
Anzahl Einsen = 54
Abb. 14: Goldener Schnitt
3.2.2 Transzendent irrationale Zahlen
3.2.2.1 π – 3
0.0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011000100110001100110001010001011100000
Abb. 15: π – 3
3.2.2.2 e – 2
0.1011011111100001010100010110001010001010111011010010101001101010101111110111000101011000100000001001
Abb. 16: e – 2
3.2.2.3 ln(2)
0.1011000101110010000101111111011111010001110011110111100110101011110010011110001110110011100110000000
Abb. 17: ln(2)