Hans Walser, [20060329a]

Dudeney

0        Worum geht es?

Ernest Dudeney demonstrierte 1905 vor der Royal Society in London die Zerlegung des Quadrats und des gleichseitigen Dreiecks in drei Vierecke und ein Dreieck. Seine Zerlegung kann durch ein Gelenkmodell realisiert werden.

Analog wird die Zerlegung eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms und eines beliebigen Dreiecks gezeigt. Insbesondere werden das DIN-Rechteck und das Goldene Rechteck bearbeitet.

1        Die klassische Figur

Die Zerlegung wird durch die Farben angedeutet.

Die klassische Figur von Dudeney

Die folgende Figur zeigt den †bergang vom Quadrat zum Dreieck in einem Gelenkmodell in mehreren Phasen. Das rote Dreieck, im Quadrat rechts unten, ist dabei immer in derselben Position festgehalten worden.

Gelenkmodell

1.1       Analyse der klassischen Figur

Das Ausgangsquadrat habe die Seite 1, das gleichseitige Dreieck die Seite s. Wegen der FlŠchengleichheit der Figuren haben wir:

Ausgehend von der LŠnge 1 der Quadratseite kann  durch zweimalige Anwendung des Hšhensatzes konstruiert werden; daraus erhalten wir durch Inversion am Einheitskreis . Die SeitenlŠnge s des Dreiecks kann also konstruiert werden.

Weiter verwenden wir die Bezeichnungen der folgenden Figur.

Bezeichnungen

Es gilt folgendes:

 ist Mittelpunkt der Strecke AB;  ist Mittelpunkt der Strecke CD.

Die drei spitzen Winkel bei Z messen je 60¡.

Die beiden Strecken  und  messen je ; das Dreieck  ist gleichseitig mit der SeitenlŠnge . Dieses Dreieck ist also flŠchenmŠ§ig ein Viertel des Zieldreieckes. Die Strecke  misst ebenfalls .

Die Strecke  ist parallel zur Strecke  und gleich lang, nŠmlich .

1.2       Konstruktionsvorgang

Da s und damit  konstruiert werden kšnnen, erhalten wir im Quadrat ABCD ausgehend von den Seitenmitten  und  die beiden Punkte  beziehungsweise . Die Strecke  kšnnen wir zum gleichseitigen Dreieck  ergŠnzen. Damit haben wir alle relevanten Punkte der Figur von Dudeney.

1.3       Eine NŠherungslšsung

Die Figur zeigt eine NŠherungslšsung im . Die Winkel bei Z messen nicht genau 60¡.

NŠherungslšsung im Raster

2        Verallgemeinerung

Diese †berlegungen und das konstruktive Vorgehen kšnnen auf den Fall eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms als Ausgangsfigur und eines beliebigen Dreiecks als Zielfigur Ÿbertragen werden.

Parallelogramm und Dreieck mŸssen flŠchengleich sein. Um das zu erreichen, formen wird jede der beiden Figuren in ein flŠchengleiches Quadrat um. Aus den SeitenlŠngen der beiden Quadrate kšnnen wir das SkalierungsverhŠltnis zur FlŠchenjustierung ablesen.

In der folgenden Figur wurde zunŠchst das violette Dreieck zum gelben Dreieck aufgeblasen, um es dem Parallelogramm links  flŠchengleich zu machen.

Vom Parallelogramm zum Dreieck

2.1       Vorgehen

Das Vorgehen orientiert sich am Sonderfall von Dudeney; wir Ÿbernehmen auch die entsprechenden Bezeichnungen. Das Parallelogramm ABCD soll zu einem Dreieck umgeformt werden,  welches dieselbe Form wie das Dreieck PQR hat.

Bezeichnungen

Dazu zoomen wir zunŠchst dieses Dreieck zum Dreieck ,  so dass die FlŠcheninhalte Ÿbereinstimmen, Nun seien  und  Mittelpunkte der Strecken  beziehungsweise ; das Dreieck  misst also flŠchenmŠ§ig ein Viertel des Parallelogramms ABCD.

Wir tragen nun vom Mittelpunkt  der Seite CD eine der SeitenlŠngen des Dreieckes  (in der Figur wurde die SeitenlŠnge  verwendet) auf die Seite BC (oder DA) ab und erhalten den Punkt . Den Punkt  konstruieren wir entsprechend. Den Punkt Z konstruieren wir so, dass das Dreieck  kongruent zum Dreieck  wird. Damit haben wir alle relevanten Punkte der Figur.

Wir sehen auch, dass wir in der Konstruktion Wahlmšglichkeiten haben. Zu gegebenem Parallelogramm ABC und Zieldreieck PQR gibt es verschiedene Lšsungen.

2.2       Animation

Die folgende Figurensequenz zeigt die Verwandlung eines Parallelogramms in ein Dreieck. Die Figur kann auch Ÿberdreht werden so dass sich die Einzelteile Ÿberlagern.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3       Grenzen

In der folgenden Bezeichnungsfigur ist  der Mittelpunkt der Strecke ; die Strecke  ist also eine Schwerlinie des Dreieckes .

Bezeichnungen

In dieser Bezeichnung muss  gelten. Die folgende Figur zeigt die Grenzsituation fŸr den Fall der Gleichheit. Die Punkte Z,  und  fallen zusammen.

Grenzfall

Innerhalb dieses Grenzfalles muss weiter  gelten. Die folgende Figur zeigt den Grenzfall .

Grenzfall im Grenzfall

3        SonderfŠlle mit Rechtecken und gleichseitigen Dreiecken

Im Folgenden werden als SonderfŠlle Rechtecke mit den SeitenlŠngen a und b gewŠhlt. Diese sollen jeweils in ein gleichseitiges Dreieck der SeitenlŠnge s umgewandelt werden. Dabei wird analog zur Bezeichnung beim Quadrat angenommen, dass die Seite  vertikal und die Seite  horizontal auf dem Zeichenpapier liegt. FŸr die SeitenlŠnge s des Zieldreieckes gilt .

Hochformat und Querformat des Ausgangsrechteckes fŸhren jeweils zu unterschiedlichen Zerlegungen.

 

3.1       DIN-Format

Das Ausgangsrechteck hat das SeitenverhŠltnis .

         

DIN-Format

3.2       Goldenes Rechteck

Im Goldenen Rechteck stehen die Rechtecksseiten im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes, also .

         

Goldenes Rechteck

Die folgende Figur zeigt eine Ma§skizze fŸr das Goldene Rechteck im Querformat.

Ma§skizze

Das goldene Rechteck ist offenbar schon nahe bei einem Grenzfall.

3.3       Grenzfall

Im Grenzfall hat das Rechteck das SeitenverhŠltnis . Im Grenzfall unterscheiden sich die beiden auf Hoch- beziehungsweise Querformat beruhenden Zerlegungen nur noch in der Farbe und der Anordnung.

         

Grenzfall