Hans Walser, [20060329a]
Dudeney
Ernest Dudeney demonstrierte 1905 vor der Royal Society in London die Zerlegung des Quadrats und des gleichseitigen Dreiecks in drei Vierecke und ein Dreieck. Seine Zerlegung kann durch ein Gelenkmodell realisiert werden.
Analog wird die Zerlegung eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms und eines beliebigen Dreiecks gezeigt. Insbesondere werden das DIN-Rechteck und das Goldene Rechteck bearbeitet.
Die Zerlegung wird durch die Farben angedeutet.
Die klassische Figur von Dudeney
Die folgende Figur zeigt den †bergang vom Quadrat zum Dreieck in einem Gelenkmodell in mehreren Phasen. Das rote Dreieck, im Quadrat rechts unten, ist dabei immer in derselben Position festgehalten worden.
Gelenkmodell
Das Ausgangsquadrat habe die Seite 1, das gleichseitige Dreieck die Seite s. Wegen der FlŠchengleichheit der Figuren haben wir:
Ausgehend von der LŠnge 1 der Quadratseite kann durch zweimalige
Anwendung des Hšhensatzes konstruiert werden; daraus erhalten wir durch
Inversion am Einheitskreis
. Die SeitenlŠnge s
des Dreiecks kann also konstruiert werden.
Weiter verwenden wir die Bezeichnungen der folgenden Figur.
Bezeichnungen
Es gilt folgendes:
ist Mittelpunkt
der Strecke AB;
ist Mittelpunkt
der Strecke CD.
Die drei spitzen Winkel bei Z messen je 60¡.
Die beiden Strecken und
messen je
; das Dreieck
ist gleichseitig
mit der SeitenlŠnge
. Dieses Dreieck ist also flŠchenmŠ§ig ein Viertel des Zieldreieckes.
Die Strecke
misst ebenfalls
.
Die Strecke ist parallel zur
Strecke
und gleich lang,
nŠmlich
.
Da s und damit konstruiert
werden kšnnen, erhalten wir im Quadrat ABCD ausgehend von den Seitenmitten
und
die beiden
Punkte
beziehungsweise
. Die Strecke
kšnnen wir zum
gleichseitigen Dreieck
ergŠnzen. Damit
haben wir alle relevanten Punkte der Figur von Dudeney.
Die Figur zeigt eine NŠherungslšsung im . Die Winkel bei Z
messen nicht genau 60¡.
NŠherungslšsung im Raster
Diese †berlegungen und das konstruktive Vorgehen kšnnen auf den Fall eines in Grenzen beliebigen Parallelogramms als Ausgangsfigur und eines beliebigen Dreiecks als Zielfigur Ÿbertragen werden.
Parallelogramm und Dreieck mŸssen flŠchengleich sein. Um das zu erreichen, formen wird jede der beiden Figuren in ein flŠchengleiches Quadrat um. Aus den SeitenlŠngen der beiden Quadrate kšnnen wir das SkalierungsverhŠltnis zur FlŠchenjustierung ablesen.
In der folgenden Figur wurde zunŠchst das violette Dreieck zum gelben Dreieck aufgeblasen, um es dem Parallelogramm links flŠchengleich zu machen.
Vom Parallelogramm zum Dreieck
Das Vorgehen orientiert sich am Sonderfall von Dudeney; wir Ÿbernehmen auch die entsprechenden Bezeichnungen. Das Parallelogramm ABCD soll zu einem Dreieck umgeformt werden, welches dieselbe Form wie das Dreieck PQR hat.
Bezeichnungen
Dazu zoomen wir zunŠchst dieses Dreieck zum Dreieck , so dass die
FlŠcheninhalte Ÿbereinstimmen, Nun seien
und
Mittelpunkte der
Strecken
beziehungsweise
; das Dreieck
misst also
flŠchenmŠ§ig ein Viertel des Parallelogramms ABCD.
Wir tragen nun vom Mittelpunkt der Seite CD eine der SeitenlŠngen des Dreieckes
(in der Figur
wurde die SeitenlŠnge
verwendet) auf
die Seite BC (oder DA) ab und erhalten den Punkt
. Den Punkt
konstruieren wir
entsprechend. Den Punkt Z konstruieren
wir so, dass das Dreieck
kongruent zum
Dreieck
wird. Damit
haben wir alle relevanten Punkte der Figur.
Wir sehen auch, dass wir in der Konstruktion Wahlmšglichkeiten haben. Zu gegebenem Parallelogramm ABC und Zieldreieck PQR gibt es verschiedene Lšsungen.
Die folgende Figurensequenz zeigt die Verwandlung eines Parallelogramms in ein Dreieck. Die Figur kann auch Ÿberdreht werden so dass sich die Einzelteile Ÿberlagern.
In der folgenden Bezeichnungsfigur ist der Mittelpunkt
der Strecke
; die Strecke
ist also eine
Schwerlinie des Dreieckes
.
Bezeichnungen
In dieser Bezeichnung muss gelten. Die
folgende Figur zeigt die Grenzsituation fŸr den Fall der Gleichheit. Die Punkte
Z,
und
fallen zusammen.
Grenzfall
Innerhalb dieses Grenzfalles muss weiter gelten. Die
folgende Figur zeigt den Grenzfall
.
Grenzfall im Grenzfall
Im Folgenden werden als SonderfŠlle Rechtecke mit den
SeitenlŠngen a und b gewŠhlt. Diese sollen jeweils in ein gleichseitiges
Dreieck der SeitenlŠnge s
umgewandelt werden. Dabei wird analog zur Bezeichnung beim Quadrat angenommen,
dass die Seite vertikal und die
Seite
horizontal auf
dem Zeichenpapier liegt. FŸr die SeitenlŠnge s des Zieldreieckes gilt
.
Hochformat und Querformat des Ausgangsrechteckes fŸhren jeweils zu unterschiedlichen Zerlegungen.
Das Ausgangsrechteck hat das SeitenverhŠltnis .
DIN-Format
Im Goldenen Rechteck stehen die Rechtecksseiten im
VerhŠltnis des Goldenen Schnittes, also .
Goldenes Rechteck
Die folgende Figur zeigt eine Ma§skizze fŸr das Goldene Rechteck im Querformat.
Ma§skizze
Das goldene Rechteck ist offenbar schon nahe bei einem Grenzfall.
Im Grenzfall hat das Rechteck das SeitenverhŠltnis . Im Grenzfall unterscheiden sich die beiden auf Hoch-
beziehungsweise Querformat beruhenden Zerlegungen nur noch in der Farbe und der
Anordnung.
Grenzfall