Hans Walser, [20250805]

Eckendurchlauf beim Würfel

1 Problemstellung

Wir beginnen mit den acht Eckpunkten eines Würfels (Abb. 1).

Abb. 1: Acht Ecken des Würfels

Und nun also die Frage: Gibt es einen achtteiligen geschlossenen Streckenzug durch die acht Eckpunkte, so dass die Figur von vorne, von hinten, von links, von rechts, von oben und von unten – von allen Seiten also – gleich aussieht?

2 Falsche Lösungen

Zunächst zur Illustration des Problems zwei falsche Lösungen.

2.1 Hamilton-Kreis auf den Kanten

Die Abbildung 2 zeigt einen sogenannten Hamilton-Kreis auf den Würfelkanten. Er besteht aus acht gleich langen Strecken und verläuft durch alle Eckpunkte.

Abb. 2: Hamilton-Kreis

Die Sichten von vorne und von links sind gleich, jedes Mal ein U, aber die Sicht von oben ist ein Quadrat (Abb. 3).

Abb. 3: Sicht von vorne, von links und von oben

2.2 Mit Raumdiagonalen

Die Abbildung 4 zeigt eine weitere falsche Lösung. Sie enthält auch Raumdiagonalen des Würfels (was an sich nicht ausgeschlossen ist).

Abb. 4: Falsche Lösung

Die Abbildung 5 zeigt die Sicht von vorne, von links und von oben. Sieht jedes Mal anders aus.

Abb. 5: Sicht von vorne, von links und von oben

3 Herleitung einer Lösung

Ich habe eher zufällig eine Lösung gefunden. Ich weiß nicht, ob es noch andere Lösungen gibt.

3.1 Nummerierung der Eckpunkte

Die Eckpunkte des Einheitswürfels im kartesischen Koordinatensystem nummerieren wir wie folgt:

A[0] := [0,0,0];

A[1] := [0,0,1];

A[2] := [0,1,0];

A[3] := [0,1,1];

A[4] := [1,0,0];

A[5] := [1,0,1];

A[6] := [1,1,0];

A[7] := [1,1,1];

In konventioneller Schreibweise:

A₀ = (0, 0, 0)

A₁ = (0, 0, 1)

A₂ = (0, 1, 0)

A₃ = (0, 1, 1)

A₄ = (1, 0, 0)

A₅ = (1, 0, 1)

A₆ = (1, 1, 0)

A₇ = (1, 1, 1)

Die Nummern ergeben sich aus den Koordinaten, wenn die drei Koordinaten in der Reihenfolge x₁x₂x₃ als Ziffern im Binärsystem gelesen werden.

Die Abbildung 6.1 zeigt die nummerierten Eckpunkte des Würfels in der kartesischen Koordinatenbox.

Abb. 6.1: Nummerierte Eckpunkte

3.2 Eine Lösung

Der Streckenzug A₀A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₀ ist eine Lösung des Problems (Abb. 6.2 und Abb. 6.3).

Abb. 6.2: Lösung in der Koordinatenbox

Abb. 6.3: Lösung

3.3 Spezielle Sichten

Die Abbildung 7 zeigt die Sicht von vorne, von links und von oben. Wir sehen immer dasselbe. Aus Symmetriegründen sehen wir dies auch so von hinten, von links und von unten.

Abb. 7: Sicht von vorne, von links und von oben

3.4 Dicke

Wenigstens auf den ersten Blick. Wird der Durchmesser der Röhrengrafik (tubeplot) für die Kanten und der Durchmesser der Kugeln (sphere) für die Eckpunkte vergrößert, sieht die Sache anders aus (Abb. 8).

Abb. 8: Dicke Grafik

Wir müssen also die Problemstellung dahingehend präzisieren, dass die Strecken abgemagerte Strecken sind im Sinne von Euklid und die Punkte keinen Teil haben.

3.5 Perspektive

Wenn wir nahe ran gehen, sehen wir die Figur deutlich in Zentralperspektive (Abb. 9).

Abb. 9: Zentralperspektive

Die speziellen Sichten von vorne, von links und von oben erscheinen in „Guckkastenperspektive“ (Abb. 10). Wir sehen nicht drei Mal dasselbe.

Abb. 10: Guckkastenperspektive

Wir müssen also die Problemstellung zusätzlich dahingehend präzisieren, dass wir die Sache von „janz weit außen“ ansehen. Also Normalprojektion in Richtung der Koordinatenachsen (Orthoprojektion).

3.6 Etwas Rechnung

Die Einzelstrecken unseres Streckenzuges sind nicht alle gleich lang. Die Strecke A[0]A[1] hat die Länge 1, die Strecke A[1]A[2] aber die Länge √2. Wir bezeichnen mit s[k] die Länge der Strecke A[k]A[k + 1] und mit s[7] die Länge der Strecke A[7]A[0]. Dies führt auf die Streckenlängen der Tabelle 1. Die Hamming-Distanz gibt die Anzahl der unterschiedlichen Koordinaten von A[k] und A[k + 1] an.

k	s[k]	s[k]	s[k]^2 (Hamming-Distanz)
0	1	1.	1
1	2^(1/2)	1.414213562	2
2	1	1.	1
3	3^(1/2)	1.732050808	3
4	1	1.	1
5	2^(1/2)	1.414213562	2
6	1	1.	1
7	3^(1/2)	1.732050808	3

Tab. 1: Streckenlängen

4 Dimension 4

Die Frage ist, ob wir mit einem vierdimensionalen Hyperwürfel dasselbe Spielchen machen können.

Um es vorwegzunehmen: unser Verfahren funktioniert nicht.

4.1 Nummerierung der Eckpunkte

Wir nummerieren die 16 Eckpunkte analog zum dreidimensionalen Fall:

A[0] := [0,0,0,0];

A[1] := [0,0,0,1];

A[2] := [0,0,1,0];

A[3] := [0,0,1,1];

A[4] := [0,1,0,0];

A[5] := [0,1,0,1];

A[6] := [0,1,1,0];

A[7] := [0,1,1,1];

A[8] := [1,0,0,0];

A[9] := [1,0,0,1];

A[10] := [1,0,1,0];

A[11] := [1,0,1,1];

A[12] := [1,1,0,0];

A[13] := [1,1,0,1];

A[14] := [1,1,1,0];

A[15] := [1,1,1,1];

Wir arbeiten mit dem geschlossenen Streckenzug A[0] A[1] A[2] … A[14] A[15] A[0].

4.2 Etwas Rechnung

Wie im dreidimensionalen Fall können wir die Längen der einzelnen Strecken des Streckenzuges berechnen (Tab. 2).

k	s[k]	s[k]	s[k]^2 (Hamming-Distanz)
0	1	1.	1
1	2^(1/2)	1.414213562	2
2	1	1.	1
3	3^(1/2)	1.732050808	3
4	1	1.	1
5	2^(1/2)	1.414213562	2
6	1	1.	1
7	3^(1/2)	1.732050808	3
8	2^(1/2)	1.414213562	2
9	3^(1/2)	1.732050808	3
10	2^(1/2)	1.414213562	2
11	2	2.	4
12	2^(1/2)	1.414213562	2
13	3^(1/2)	1.732050808	3
14	2^(1/2)	1.414213562	2
15	2	2.	4

Tab. 2: Streckenlängen

4.3 Darstellungen im Raum und in der Ebene

Dieser Abschnitt 4.3 ist ein Exkurs und hat keinen direkten Bezug zur Problemstellung dieser Studie.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den vierdimensionalen Hyperwürfel in den Dimensionen 3 und 2 darzustellen.

4.3.1 Rhombendodekaeder

Der vierdimensionale Hyperwürfel kann im dreidimensionalen Raum als Rhombendodekaeder dargestellt werden (Abb.11).

Abb. 11: Rhombendodekaeder

Allerdings stimmt es mit der Eckenzahl nicht. Das Rhombendodekaeder hat nur 14 Eckpunkte, der vierdimensionale Hyperwürfel aber 2⁴ = 16. Um die Sache stimmig zu machen, müssen wir den Mittelpunkt des Rhombendodekaeders dazu nehmen, und dies gleich doppelt (Abb. 12).

Abb. 12: Der Mittelpunkt zählt doppelt

In jeden Eckpunkt des vierdimensionalen Hyperwürfels haben vier Kanten einzumünden. In den Mittelpunkt des Rhombendodekaeders münden aber acht Strecken ein. Also zählen wir den Mittelpunkt doppelt und geben jedem der beiden je vier Strecken. Man kann sich überlegen, welche vier der acht Strecken jeweils zum selben Punkt gehören.

In der Abbildung 13 sind die Eckpunkte nummeriert gemäß unseren (vierdimensionalen) Koordinaten. Der doppelt zu zählende Punkt in der Mitte des Rhombendodekaeders erhält die beiden Nummern 5 und 10. Das System schreibt die Nummern säuberlich übereinander.

Abb. 13: Nummerierung der Eckpunkte

Man kann da etwas innehalten und einiges entdecken.

In der untersten Etage haben wir nur einen Punkt (Nummer 0).

In der ersten Etage darüber sind es vier Punkte (Nummern 1, 2, 4, 8). Diese vier Punkte sind die Ecken eines Quadrates.

In der zweiten Etage sechs Punkte (Nummern 3, 5, 6, 9, 10, 12). Diese sechs Punkte sind die Ecken eines Quadrates mit dem doppelt zu zählenden Mittelpunkt.

In der dritten Etage sind es nur noch vier Punkte (Nummern 7, 11, 13, 14). Diese vier Punkte sind die Ecken eines Quadrates.

In der vierten und obersten Etagen haben wir nur einen Punkt (Nummer 15).

Die Anzahlen der Punkte pro Etage sind also:

1, 4, 6, 4, 1

Dies sind offensichtlich die Binomialkoeffizienten in der Zeile vier des Pascal-Dreieckes.

Und nun zu den Nummern selber:

In der untersten und in der obersten Etage haben wir die äußersten Nummern 0 und 15.

In der ersten Etage haben wir die Nummern 1, 2, 4, 8. Dies sind offenbar die Zweierpotenzen (Verdoppelungsfolge).

In der zweiten Etage haben wir mit den Nummern 3, 6, 9, 12 die Vielfachen von 3 und mit den Mittelpunktnummern 5 und 10 die Vielfachen von 5. Die Nummern 3, 5, 6, 9, 10, 12 insgesamt sind die zu 15 nicht teilerfremden Zahlen.

In der dritten Etage sieht es mit den Nummern so aus: 14 = 15 – 1, 13 = 15 – 2, 11 = 15 – 4, 7 = 15 – 8. Die Ergänzungszahlen auf die größte Nummer 15 sind wieder die Zweierpotenzen.

In der Abbildung 14 ist zusätzlich der Streckenzug eingezeichnet.

Abb. 14: Streckenzug

4.3.2 In der Ebene

Die Abbildung 15 zeigt eine klassische Darstellung des vierdimensionalen Hyperwürfels in der Ebene.

Abb. 15: Hyperwürfel

Wir schreiben die Eckennummern an (Abb. 16) und zeichnen den Streckenzug ein (Abb. 17).

Abb. 16: Nummerierung der Ecken

Abb. 17: Streckenzug

4.4 Frage der Sichten

Im dreidimensionalen Raum bedeutet die Sicht von vorne, dass die x₁-Koordinate weggelassen wird und mit den beiden verbleibenden Koordinaten wie in der Ebene verfahren wird. Bei der Sicht von links wird die x₂-Koordinate weggelassen, bei der Sicht von oben die x₃-Koordinate.

Analog lassen wir im vierdimensionalen Fall jeweils eine Koordinate weg und arbeiten mit den drei verbleibenden Koordinaten im dreidimensionalen Raum.

4.4.1 Erste Koordinate weglassen

Die Tabelle 3.1 zeigt die Situation beim Weglassen der ersten Koordinate.

Nummer vierdimensional	Koordinaten vierdimensional	Koordinaten dreidimensional	Nummer dreidimensional
0	[0, 0, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
1	[0, 0, 0, 1]	[0, 0, 1]	1
2	[0, 0, 1, 0]	[0, 1, 0]	2
3	[0, 0, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
4	[0, 1, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
5	[0, 1, 0, 1]	[1, 0, 1]	5
6	[0, 1, 1, 0]	[1, 1, 0]	6
7	[0, 1, 1, 1]	[1, 1, 1]	7
8	[1, 0, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
9	[1, 0, 0, 1]	[0, 0, 1]	1
10	[1, 0, 1, 0]	[0, 1, 0]	2
11	[1, 0, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
12	[1, 1, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
13	[1, 1, 0, 1]	[1, 0, 1]	5
14	[1, 1, 1, 0]	[1, 1, 0]	6
15	[1, 1, 1, 1]	[1, 1, 1]	7

Tab. 3.1: Erste Koordinate wird weggelassen

Je zwei Punkte im vierdimensionalen Raum fallen bei der Projektion in den dreidimensionalen Raum aufeinander. Aus der Reihenfolge 0, 1, 2, … , 14, 15 wird die Reihenfolge 0, 1, 2, … , 6, 7, 0, 1, 2, … , 6, 7. Wir erhalten also optisch denselben Streckenzug wie in der Abbildung 6.3, er wird aber zweimal durchlaufen (Abb. 18.1). Eine Runde und eine Ehrenrunde. Der Zyklus 0, 1, 2, … , 6, 7 wird zweimal durchlaufen.

Abb. 18.1: Erste Koordinate weggelassen

4.4.2 Zweite Koordinate weggelassen

Die Tabelle 3.2 zeigt die Situation beim Weglassen der zweiten Koordinate.

Nummer vierdimensional	Koordinaten vierdimensional	Koordinaten dreidimensional	Nummer dreidimensional
0	[0, 0, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
1	[0, 0, 0, 1]	[0, 0, 1]	1
2	[0, 0, 1, 0]	[0, 1, 0]	2
3	[0, 0, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
4	[0, 1, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
5	[0, 1, 0, 1]	[0, 0, 1]	1
6	[0, 1, 1, 0]	[0, 1, 0]	2
7	[0, 1, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
8	[1, 0, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
9	[1, 0, 0, 1]	[1, 0, 1]	5
10	[1, 0, 1, 0]	[1, 1, 0]	6
11	[1, 0, 1, 1]	[1, 1, 1]	7
12	[1, 1, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
13	[1, 1, 0, 1]	[1, 0, 1]	5
14	[1, 1, 1, 0]	[1, 1, 0]	6
15	[1, 1, 1, 1]	[1, 1, 1]	7

Tab. 3.2: Zweite Koordinate wird weggelassen

Jetzt wird im dreidimensionalen Raum der Teilzyklus 0, 1, 2, 3 zweimal durchlaufen, ebenso der Teilzyklus 4, 5, 6, 7. Wir erhalten daher eine andere Figur (Abb. 18.2). Wir haben somit jetzt schon zwei verschiedene Sichten und damit keine Lösung des Eingangsproblems.

Abb. 18.2: Zweite Koordinate weggelassen

4.4.3 Dritte Koordinate weggelassen

Die Tabelle 3.3 zeigt die Situation beim Weglassen der dritten Koordinate.

Nummer vierdimensional	Koordinaten vierdimensional	Koordinaten dreidimensional	Nummer dreidimensional
0	[0, 0, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
1	[0, 0, 0, 1]	[0, 0, 1]	1
2	[0, 0, 1, 0]	[0, 0, 0]	0
3	[0, 0, 1, 1]	[0, 0, 1]	1
4	[0, 1, 0, 0]	[0, 1, 0]	2
5	[0, 1, 0, 1]	[0, 1, 1]	3
6	[0, 1, 1, 0]	[0, 1, 0]	2
7	[0, 1, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
8	[1, 0, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
9	[1, 0, 0, 1]	[1, 0, 1]	5
10	[1, 0, 1, 0]	[1, 0, 0]	4
11	[1, 0, 1, 1]	[1, 0, 1]	5
12	[1, 1, 0, 0]	[1, 1, 0]	6
13	[1, 1, 0, 1]	[1, 1, 1]	7
14	[1, 1, 1, 0]	[1, 1, 0]	6
15	[1, 1, 1, 1]	[1, 1, 1]	7

Tab. 3.3: Dritte Koordinate wird weggelassen

Es werden die vier Zweierzyklen 0, 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6, 7 je zweimal durchlaufen. Das Schrittverhalten des Streckenzuges im dreidimensionalen Fall ist jetzt:

vorwärts, rückwärts, vorwärts, vorwärts, vorwärts, rückwärts, vorwärts, vorwärts, vorwärts, rückwärts, vorwärts, vorwärts, vorwärts, rückwärts, vorwärts

Also drei Schritte vorwärts, einer zurück. Dann kommt man auch ans Ziel, braucht aber doppelt so lange.

In der Abbildung im dreidimensionalen Raum wird dies aber nicht sichtbar (Abb. 18.3). Wir haben dieselbe Sicht wie in der Abbildung 18.1.

Abb. 18.3: Dritte Koordinate weggelassen

4.4.4 Vierte Koordinate weggelassen

Die Tabelle 3.4 zeigt die Situation beim Weglassen der vierten Koordinate.

Nummer vierdimensional	Koordinaten vierdimensional	Koordinaten dreidimensional	Nummer dreidimensional
0	[0, 0, 0, 0]	[0, 0, 0]	0
1	[0, 0, 0, 1]	[0, 0, 0]	0
2	[0, 0, 1, 0]	[0, 0, 1]	1
3	[0, 0, 1, 1]	[0, 0, 1]	1
4	[0, 1, 0, 0]	[0, 1, 0]	2
5	[0, 1, 0, 1]	[0, 1, 0]	2
6	[0, 1, 1, 0]	[0, 1, 1]	3
7	[0, 1, 1, 1]	[0, 1, 1]	3
8	[1, 0, 0, 0]	[1, 0, 0]	4
9	[1, 0, 0, 1]	[1, 0, 0]	4
10	[1, 0, 1, 0]	[1, 0, 1]	5
11	[1, 0, 1, 1]	[1, 0, 1]	5
12	[1, 1, 0, 0]	[1, 1, 0]	6
13	[1, 1, 0, 1]	[1, 1, 0]	6
14	[1, 1, 1, 0]	[1, 1, 1]	7
15	[1, 1, 1, 1]	[1, 1, 1]	7

Tab. 3.4: Vierte Koordinate wird weggelassen

Auf jeden Schritt folgt eine Pause, ein Gehen an Ort. Es wird jeder der acht Einerzyklen zweimal durchlaufen.

So kommt man auch ans Ziel, braucht aber doppelt so lange. In der Abbildung im dreidimensionalen Raum wird dies aber nicht sichtbar (Abb. 18.4). Wir haben dieselbe Sicht wie in den Abbildungen 18.1 und 18.3.

Abb. 18.4: Vierte Koordinate weggelassen

Weblinks

Hans Walser: Eckennummerierung von Hyperwürfeln

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eckennummerierung/Eckennummerierung.html