Hans Walser, [20240303]
Einmaleins
Idee und Anregung: Zvonimir Durcevic, Wien
Spielerei mit Schachfiguren in der Multiplikationstabelle.
Die Abbildung 1 zeigt die Multiplikationstabelle von 1 bis 8 in ein 8×8-Schachbrett eingepasst.
Abb. 1: Kleines Einmaleins
Wir setzen einen Springer auf ein Feld, das nicht zu nahe am Rand ist (Rösslein am Rand ist eine Schand). Im Beispiel der Abbildung 2 steht der Springer auf einem Feld mit der Zahl 12.
Abb. 12: Springer auf Platz mit der Zahl 12
Wir markieren nun (rot in Abb. 3) alle Felder, auf welche der Springer in einem Sprung springen kann.
Abb. 3: Wohin der Springer springen kann
Die Summe der Zahlen in den roten Feldern ist:
3 + 5 + 12 + 24 + 25 + 15 + 8 + 4 = 96 = 8*12
Der Durchschnitt (arithmetisches Mittel) dieser Zahlen ist 12 und damit die Startzahl des Springers.
Entsprechend gilt allgemein: Falls der Springer mindestens 2 Felder vom Rand entfernt ist, ergibt sich für den Durchschnitt der in einem Sprung erreichbaren Zahlen die Startzahl.
Die Startzahl sei das Produkt a*b.
Für die erreichbaren Zahlen gilt die Summe:
(a –
1)*(b – 2) + (a + 1)*(b – 2) + (a + 2)*(b – 1) + (a + 2)*(b + 1) + (a + 1)*(b
+ 2) + (a – 1)*(b + 2) + (a – 2)*(b + 1) + (a – 2)*(b – 1) = 8*a*b
Der Durchschnitt ist
also die Startzahl a*b.
Wir können uns die Rechnung
sparen mit einer Gewichtsüberlegung.
Dazu fassen wir
zunächst zwei mittelbar in einer Zeile liegende Zahlen mit einer Hantel
zusammen (Abb. 4).
Abb. 4: Hanteln
Die Zahl in der
Mitte der Verbindungsstange ist der Durchschnitt der beiden Zahlen in den
Gewichtskugeln. Dies darum, weil die Zahlen einer Zeile immer um gleich viel
zunehmen (arithmetische Folge (erster Ordnung )).
Wir fassen nun die
beiden Durchschnitte mit einer senkrecht liegenden Hantel zusammen (Abb. 5). Die
Startzahl des Springers ist also der Durchschnitt der vier nach oben und unten
erreichbaren Zahlen.
Abb. 5:
Verbindungshantel
Analog können wir
mit den nach links und rechts erreichbaren Zahlen verfahren (Abb. 6). Die
Startzahl des Springers ist der Durchschnitt der damit erreichbaren Zahlen.
Abb. 6: Weitere
Hanteln
Insgesamt folgt,
dass die Startzahl des Springers der Durchschnitt der acht erreichbaren Zahlen
ist (Abb. 7).
Abb. 7:
Durchschnitt
Gibt es andere
Schachfiguren mit einer entsprechenden Eigenschaft?
Wir schränken das
Spielbrett ein auf das Quadrat, in welchem sich die durch den Springer
erreichbaren Felder befinden (lila in Abb. 8).
Abb. 8:
Einschränkung des Spielfeldes
Für die durch einen Turm erreichbaren Felder (gelb in Abb. 9) erhalten wir die Summe 6+9+15+18+4+8+16+20 = 96 = 8*12. Der Durchschnitt ist also wiederum die Zahl im Ausgangsfeld. Für den Beweis benützen wir, dass wir in den Spalten und Zeilen arithmetische Folgen erster Ordnung haben. Die Durchschnittseigenschaft ist unabhängig vom Ausgangsfeld.
Abb. 9: Turm
Für die durch einen Läufer erreichbaren Felder (hellblau in Abb. 10) erhalten wir die Summe 2+6+20+30+10+12+10+6 = 96 = 8*12. Der Durchschnitt ist also wiederum die Zahl im Ausgangsfeld.
Die Zahlen in den diagonalen Folgen bilden aber keine arithmetischen Folgen erster Ordnung mehr, sondern arithmetische Folgen zweiter Ordnung (quadratisches Bildungsgesetz).
Für den Beweis der Durchschnittseigenschaft können wir mit der Hantel-Methode arbeiten. Die Durchschnittseigenschaft ist unabhängig vom Ausgangsfeld.
Abb. 10: Läufer
Die Dame kann die gelben und die hellblauen Felder der
Abbildung 10 erreichen. Für die Summe erhalten wir daher 192 = 16*12. Der
Durchschnitt ist wiederum die Zahl im Ausgangsfeld.
Bemerkenswert ist,
dass in unserem eingeschränkten Spielfeld die vom Springer und die von der Dame
erreichbaren Felder disjunkt sind. Der Springer kann genau diejenigen Felder
erreichen, welche die Dame nicht erreichen kann, und umgekehrt.
Die Durchschnittseigenschaft gilt auch für den König (gold in Abb. 11). Beweis mit der Hantel-Methode.
Abb. 11: König
Wir können die
Multiplikationstabelle und damit das Schachbrett in jeder Richtung beliebig
ausdehnen (Abb. 12). Wenn wir nach links oder nach oben ausdehnen, müssen wir
mit negativen Zahlen rechnen.
Abb. 12:
Ausdehnung des Schachbrettes
Auch hier gilt die Durchschnittseigenschaft für den Springer (Abb. 13),
wie man leicht nachrechnet.
Abb. 13:
Springer
Weblink
Hans Walser: Einmaleins
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Einmaleins/Einmaleins.html