Hans Walser, [20250734]

Ellipsenzirkel

Anfrage: R. G.

1 Worum es geht

Mechanische Konstruktion einer Ellipse und zwei anderer Kurven. Problematik der „toten Punkte“.

2 Zwei Zeiger

Wir beginnen mit zwei verschieden langen Zeigern, welche mit entgegengesetzt gleicher Drehgeschwindigkeit drehen ( Abb. 1).

Abb. 1: Zwei Zeiger

3 Vierecke

Wir ergänzen die beiden Zeiger mit zwei gleichlangen Strecken zu einem Viereck. Dies ist auf drei Arten möglich: als Parallelogramm, als Drachenviereck und als Schmetterlingsviereck (Abb. 2).

Abb. 2: Parallelogramm, Drachenviereck und Schmetterlingsviereck

4 Bahnkurven

Wir zeichnen nun die Bahnkurven der jeweils vierten Ecke des Vierecks bei der Bewegung der beiden Zeiger.

4.1 Parallelogramm: Ellipse

Die vierte Parallelogramm-Ecke läuft auf einer Ellipse (Abb. 3).

Abb. 3: Ellipse

Begründung: Überlagerung von zwei gegenläufigen Kreisbewegungen.

4.2 Drachenviereck: Kleeblatt

Der vierte Eckpunkt des Drachenvierecks läuft auf einer Kleeblatt-Linie (Abb. 4). Der Name dieser Kurve ist mir nicht bekannt.

Abb. 4: Kleeblatt

4.3 Schmetterlingsviereck

Beim Schmetterlingsviereck erhalten wir eine Kurve, deren Namen ich ebenfalls nicht kenne (Abb. 5).

Abb. 5: Schmetterlingsviereck

In der Abbildung 6 ist zusätzlich die Symmetrieachse des Schmetterlingsviereckes eingezeichnet.

Abb. 6: Symmetrieachse des Schmetterlingsviereckes

Die Symmetrieachse hüllt eine Ellipse ein (Abb. 7). Diese ist längenmäßig halb so groß wie die Ellipse der Abbildung 3.

Abb. 7: Eingehüllte Ellipse

4.4 Übersicht

Abb. 8: Übersicht

Abb. 9: Bahnkurven

5 Tote Punkte

Bei der Konstruktion des Parallelogramms (Abb. 2) könnte man vorgehen wie folgt: man zeichnet um jedes Zeigerende einen Kreis mit der anderen Zeigerlänge als Radius (Abb. 10). Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der vierte Eckpunkt des Parallelogramms.

Abb. 10: Konstruktion des Parallelogramms

Wenn nun die Zeiger drehen, geschieht folgendes (Abb. 11). Die Bahnkurve ist rechts oben vom Drehpunkt der Zeiger ein Viertel der Ellipse der Abbildung 3, links oben ein Viertel der Bahnkurve der Abbildung 5, links unten wieder ein Viertel der Ellipse und rechts unten ein Viertel der Bahnkurve der Abbildung 5.

Abb. 11: Merkwürdige Bahnkurve

Der Grund ist offensichtlich: die beiden Kreise haben ja zwei Schnittpunkte, und man muss den „richtigen“ nehmen. Ansonsten wechselt das Parallelogramm zum Schmetterlingsviereck. Der Wechsel geschieht bei den „toten Punkten“, wenn die beiden Zeiger auf derselben Geraden liegen.

Dieser Effekt erscheint bei der Realisierung der Konstruktionsidee mit gelenkig verbundenen Stäben.

Das Problem kann mit folgendem Konstruktionsweg umgangen werden: wir konstruieren den Mittelpunkt der beiden Zeigerenden und spiegeln den Drehpunkt an diesem Mittelpunkt. Dies gibt den vierten Eckpunkt des Parallelogramms. Diese Konstruktion ist totpunktfest. Die mechanische Realisierung ist etwas aufwendig.

Zunächst kann mit einer Scherenmechanik der Mittelpunkt der beiden Zeigerenden gefunden werden (Abb. 12).

Abb. 12: Mittelpunkt mit Scherenmechanik

Dann finden wir mit vier Gleitschiebegeraden, welche zueinander teils orthogonal, teils unter einem 45°-Winkel stehen, den Spiegelpunkt (Abb. 13).

Abb. 13: Gleitschiebegeraden

Damit haben wir einen totpunktfesten Ellipsenzirkel gefunden (Abb. 14). Zugegeben: es gibt einfachere Ellipsenzirkel.

Abb. 14: Ellipsenzirkel

6 Vereinfachung

Auf die Gleitschiebegaraden (Abb. 13 und Abb. 14) können wir verzichten und den Mittelpunkt der beiden Zeigerenden direkt als Schreibstift verwenden (Abb. 15). Die entstehende Ellipse ist längenmäßig halb so groß wie die Ellipse der Abbildungen 3 und 14.

Abb. 15: Vereinfachter Ellipsenzirkel

Die Länge der Stäbe der Scherenmechanik (Abb. 12) kann variiert werden (Abb. 16). Sie hat keinen Einfluss auf die Gestalt der Ellipse.

Die lange Halbachse der Ellipse ist das arithmetische Mittel (halbe Summe) der beiden Zeigerlängen, die kurze Halbachse die halbe Differenz der beiden Zeigerlängen.

Abb. 16: Veränderte Scherenmechanik