Hans Walser, [20250505]

Ellipsoide

1 Worum es geht

Volumengleiche Ellipsoide

2 Einheitskugel

Wir beginnen mit der Einheitskugel (Abb. 1).

Abb. 1: Einheitskugel

3 Rotationsellipsoide

Wenn wir die Einheitskugel in der z-Richtung (Richtung der Rotationsachse) mit dem Faktor t strecken, müssen wir den Äquatorradius mit dem Faktor 1/√t skalieren, damit das Volumen invariant bleibt.

Für t = 2 erhalten wir ein verlängertes Rotationsellipsoid (Abb. 2, zusammen mit Netzlinien der Einheitskugel).

Abb. 2: Verlängertes Rotationsellipsoid

Für t = ½ erhalten wir ein abgeplattetes Rotationsellipsoid (Abb. 3, zusammen mit Netzlinien der Einheitskugel).

Abb. 3: Abgeplattetes Rotationsellipsoid

Die Abbildung 4 zeigt den Übergang von verlängerten zu abgeplatteten Rotationsellipsoiden. Der Parameter t läuft von ½ bis 2.

Abb. 4: Rotationsellipsoide

In der Abbildung 5 sind alle Bilder (frames) der Abbildung 4 simultan dargestellt. Daher hat es scheinbar viel mehr Breitenkreise.

Abb. 5: Rotationsellipsoide

4 Variation von zwei Achsen

Wir lassen die z-Achse der Einheitskugel konstant und ändern die x- und die y-Achse so, dass das Volumen konstant bleibt.

Wir die x-Achse mit dem Parameter t skaliert, muss die y-Achse mit dem Kehrwert 1/t skaliert werden.

Die Abbildung 6 zeigt die Situation für t = 2 zusammen mit den Netzlinien der Einheitskugel.

Abb. 6: Ellipsoid

Die Abbildung 7 zeigt die Situation für t = ½ zusammen mit den Netzlinien der Einheitskugel. Die Situationen der Abbildungen 6 und 7 gehen durch eine Rotation um π/2 auseinander hervor.

Abb. 7: Ellipsoid

Wer jetzt allerdings bei der Animation mit dem Parameter t von ½ bis 2 eine Rotation erwartet, irrt sich (Abb. 8).

Abb. 8: Animation

Die Abbildung 9 zeigt die Überlagerung von 10 Standbildern der Animation der Abbildung 8. Wir haben scheinbar zu viele Meridiane.

Abb. 9: Überlagerung