1 Worum es geht

Und der Haifisch, der hat Zähne
Und die trägt er im Gesicht

Bertold Brecht

Spiel mit Symmetrien

Paritätsproblem

2 Problemstellung

Die Abbildung 1 zeigt zwei aufeinander abrollende elliptische Zahnräder. Die beiden Zahnräder haben je 50 Zähne.

Abb. 1: Elliptische Zahnräder

Frage: Sind die beiden Zahnräder kongruent?

3 Antwort

Die beiden Zahnräder sind nicht kongruent. Bei der grünen Ellipse geht die lange Achse durch die Zahnspitzen, bei der roten durch den Zwischenraum zwischen zwei Zähnen.

Abb. 2: Lange Achsen

4 Bearbeitung

4.1 Parametrisierung

Das grüne elliptische Zahnrad hat folgende GeoGebra-Parametrisierung:

Kurve((1 + h cos(f t)) a cos(t), (1 + h cos(f t)) b sin(t), t, 0, 2π)

Dabei sind a und b die Ellipsenachsen, h die Zahnamplitude und f die Zähnezahl (Frequenz).

Für das rote elliptische Zahnrad arbeiten wir zunächst mit der GeoGebra-Parametrisierung:

Kurve((1 - h cos(f t)) a cos(t), (1 - h cos(f t)) b sin(t), t, 0, 2π)

Man beachte das Minuszeichen bei h. Die entstehende Kurve wird dann an der umlaufenden Tangente an die Ellipse mit h = 0 (glatte Ellipse) gespiegelt.

4.2 Ein Paritätsproblem

4.2.1 Gerade Anzahl Zähne

Bei einer geraden Zähnezahl haben wir immer die Situation der Abbildung 2. Die beiden elliptischen Zahnräder sind nicht kongruent.

Hingegen haben beide elliptischen Zahnräder die lange und die kurze Ellipsenachse als Symmetrieachse.

Die Abbildung 3 zeigt dies für die Zähnezahl 6.

Abb. 3: Sechs Zähne

4.2.2 Ungerade Anzahl Zähne

Bei einer ungeraden Zähnezahl sind die beiden elliptischen Zahnräder kongruent (Abb. 4). Die beiden elliptischen Zahnräder haben aber nur noch die lange Ellipsenachse als Symmetrieachse.

Abb. 4: Sieben Zähne

4.3 Andere Parametrisierung

Wir arbeiten neu mit der Parametrisierung:

Kurve((1 + h sin(f t)) a cos(t), (1 + h sin(f t)) b sin(t), t, 0, 2π)

Die Kosinusfunktion für die Modellierung der Zähne wird durch die Sinusfunktion ersetzt.

Für das rote elliptische Zahnrad arbeiten wir zunächst mit der Parametrisierung:

Kurve((1 - h sin(f t)) a cos(t), (1 - h sin(f t)) b sin(t), t, 0, 2π)

Man beachte das Minuszeichen bei h. Die entstehende Kurve wird dann an der umlaufenden Tangente an die Ellipse mit h = 0 gespiegelt.

Die beiden elliptischen Zahnräder sind nun kongruent.

4.3.1 Gerade Anzahl Zähne

Die beiden kongruenten elliptischen Zahnräder haben eine Punktsymmetrie, aber keine Achsensymmetrie (Abb. 5 für f = 6 Zähne).

Abb. 5: Sechs Zähne

4.3.2 Ungerade Anzahl Zähne

Die beiden kongruenten elliptischen Zahnräder haben die kurze Ellipsenachse als Symmetrieachse (Abb. 6 für f = 7 Zähne).

Abb. 6: Max und Moritz (Wilhelm Busch)