Hans Walser, [20160904]
Erde im SchrŠgbild
1 Erdschatten
Ein SchrŠgbild kann als Schattenbild bei schrŠg einfallendem Licht (Parallelbeleuchtung) interpretiert werden. Der Umriss des SchrŠgbildes einer Kugel ist eine Ellipse (Abb. 1).
Abb. 1: Kugelschatten
Die Abbildung 2 zeigt das analoge Artefakt mit der Erdkugel.
Abb. 2: Erdschatten
Die Abbildungen 1 und 2 sind allerdings nicht ganz stubenrein. Bei einem korrekten SchrŠgbild mźssten die kurze Ellipsenachse und der Kugelradius źbereinstimmen. In den Abbildungen 1 und 2 ist aber die kurze Ellipsenachse deutlich kźrzer als der Kugelradius. Der Grund liegt darin, dass die Abbildung 1 nicht nur ein SchrŠgbild darstellt, sondern die Foto einer rŠumlichen Anordnung. Da der Kugelschatten weiter von der Kamera entfernt ist als der KugelŠquator, wird er verkleinert dargestellt. Aus der Verkleinerung kann der Abstand der Kamera vom Boden im VerhŠltnis zum Ballradius rekonstruiert werden.
Wir haben das philosophische Problem des Bildes (Foto) eines Bildes (SchrŠgbild).
Und ebenfalls als Folge der Foto-Anordnung sehen wir vom Ball nicht die volle obere Halbkugel. Die orthographische Projektion der Erdkugel in der Abbildung 2 (rechts) zeigt aber die ganze nšrdliche HemisphŠre. Das ist falsch. Der Autor hat aber nicht die technischen Mšglichkeiten, das korrekt zu machen.
Die Abbildung 2 ist ein Artefakt. Der Autor hatte nicht die Mšglichkeit, die Erdkugel auf dem Vorplatz seines Hauses zu fotografieren.
Die Abbildung 3 zeigt nun die Erdkugel (in orthografischer Projektion, Abb. 3b) und ein korrektes SchrŠgbild (Abb. 3a).
Abb. 3: SchrŠgbild
In beiden Abbildungen sehen wir je eine HemisphŠre der Erde, aber nicht dieselbe. In der Abbildung 3a ist Australien sichtbar, aber Nordamerika nicht. In der Abbildung 3b ist es umgekehrt.
2 Geometrie des SchrŠgbildes der Erde
Der Umriss ist eine Ellipse. Die Brennpunkte sind die Bilder des Nord- und Sźdpols.
Die Bilder der Breitenkreise sind Kreise (Abb. 4). Dies liegt daran, dass die Breitenkreise im Raum parallel zur Projektionsebene liegen.
Abb. 4: Bilder der Breitenkreise
Die Bilder der Meridiane sind Ellipsen (Abb. 5). Wo liegen deren Brennpunkte?
Abb. 5: Bilder der Meridiane
3 Inkugel im Wźrfel
Die Abbildung 6 zeigt die Inkugel in einem Wźrfel im SchrŠgbild.
Die markierten Punkte sind die Mittelpunkte der Seitenquadrate des Wźrfels. Der Umriss der Inkugel ist eine Ellipse. Deren Brennpunkte sind die Mittelpunkte der Vorderseite und Rźckseite des Wźrfels, also die Schnittpunkte des €quators mit dem 0ˇ-180ˇ-Meridian. Der €quator und der 0ˇ-180ˇ-Meridian sind durch Ellipsen dargestellt, welche ăschrŠgŇ im Wźrfelbild positioniert sind. Die ±90ˇ-Meridiane werden als Kreis dargestellt.
Abb. 6: Inkugel im Wźrfel
In der Abbildung 7 ist nun das Bild der Erdkugel als Inkugel des Wźrfels eingepasst.
Abb. 7: Erde im SchrŠgbild
Websites
Kartenprojektionen (04.09.2016):
http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html
Walser, Kugeldarstellungen (04.09.2016):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugeldarstellungen/Kugeldarstellungen.htm
Walser, Kugelumriss im SchrŠgbild (04.09.2016):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugelumriss_im_Schraegbild/Kugelumriss_im_Schraegbild.htm