Hans Walser, [20180701]

ErgŠnzung zum Rechteck

1     Worum geht es?

Spiel mit Tangenten und Rechtecken bei Kegelschnitten. Als Sonderfall erscheint das Rechteck im DIN-Format.

2     Parabel

Wir beginnen mit der Parabel (Abb. 1):

 

                                                                                                                   (1)

 

 

Abb. 1: Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie

Die Parabel p hat den Brennpunkt  und die Leitlinie . Auf der Leitlinie l wŠhlen wir einen Punkt P.

2.1    Tangenten und Rechteck

Die Tangenten von P an die Parabel p sind orthogonal (Abb. 2). Die Berźhrungspunkte bezeichnen wir mit B1 und B2.

Abb. 2: Tangenten

Wir ergŠnzen das rechtwinklige Dreieck B2B1P zum Rechteck B2SB1P (Abb. 3).

Abb. 3: ErgŠnzung zum Rechteck

Die Frage ist nun,  welche Kurve der Punkt S beschreibt, wenn P auf l variiert.

Wir erhalten wieder eine Parabel (Abb. 4).

Abb. 4: Zweite Parabel

Diese Parabel hat die Gleichung:

 

                                                                                                                 (2)

 

 

Dies kann durch Rechnung nachgewiesen werden.

2.2    Scheitelkrźmmungskreise

Die Scheitelkrźmmungskreise der beiden Parabeln haben den Punkt  gemeinsam (Abb. 5). Wir kšnnen die Parabel q durch eine Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor 4 auf die Parabel p abbilden.

Abb. 5: Krźmmungskreise in den Scheiteln

2.3    SonderfŠlle

Im symmetrischen Fall ist das Rechteck ein auf der Spitze stehendes Quadrat (Abb. 6). Der Brennpunkt F ist das Zentrum des Quadrates.

Abb. 6: Sonderfall Quadrat

Die Abbildung 7 zeigt einen interessanten Sonderfall: Die Rechteckseiten sind nicht nur tangential oder normal zur Parabel p sondern auch zur Parabel q.

Die Oberkante B2S liegt auf einer Geraden durch Z. Das Rechteck hat das SeitenverhŠltnis , entspricht also dem DIN-Format (Walser 2013).

Die Strecke B2S ist eine der beiden Minimaltransversalen (die andere liegt symmetrisch dazu) der beiden Parabeln. Sie hat die LŠnge:

 

                                                                                                         (3)

 

 

Eine Kreisscheibe mit dem Durchmesser dieser Strecke B2S ist die grš§te Kreisscheibe, die zwischen den beiden Parabeln durchgeschoben werden kann.

Abb. 7: DIN-Format

Die Figur kann iteriert werden (Abb. 8).

Abb. 8: Iteration

3     Ellipse

Die Punkte, von denen aus eine Ellipse (oder eine Hyperbel) unter einem rechten Winkel gesehen wird, bilden einen Kreis (ăThaleskreisŇ, [1] ). Bei einer Ellipse mit den Halbachsen a und b hat der Kreis den Radius r:

 

                                                                                                                   (4)

 

 

Abb. 9: Thaleskreis an die Ellipse

Die ergŠnzende Ecke S zeichnet eine Rosette (Abb. 10).

Abb. 10: Rosette

4     Hyperbel

Wir haben einen Thaleskreis (Abb. 11) mit dem Radius r

 

                                                                                                                   (5)

 

 

Es muss also a ł b sein, damit man rechtwinklige Tangenten an die Hyperbel zeichnen kann.

Abb. 11: Thaleskreis der Hyperbel

Der ergŠnzende Punkt S beschreibt eine aus vier €sten bestehende Kurve (Abb. 12).

Abb. 12: Vierteilige Kurve

 

Websites

Hans Walser: Tangenten an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 02.07.2018):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H

 

 

Literaturverzeichnis

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.