Hans Walser, [20140417a]

Eulergerade

1     Worum geht es

Es wird eine Methode vorgestellt, wie die Eulergerade durch den Umkreismittelpunkt allein oder auch durch den Hšhenschnittpunkt allein gezeichnet werden kann.

2     Die Eulergerade

In einem Dreieck  mit dem Umkreismittelpunkt U, dem Hšhenschnittpunkt H und dem Schwerpunkt S liegen die drei Punkte auf einer Geraden, der Eulergeraden (Abb. 1, Walser, 2011, S. 11,12).

Abb. 1: Eulergerade

 

Die Abbildung 2 zeigt einen Beweis ohne Worte (Walser, 2007).

Abb. 2: Beweis ohne Worte

 

FŸr die Konstruktion der Eulergeraden genŸgt die Konstruktion von zweien der drei Punkte U, H, S.

3     Konstruktion mit dem Umkreismittelpunkt allein

3.1    Der Richtungsvektor

Wir konstruieren den Umkreismittelpunkt U. Damit ergeben sich die Abstandsvektoren  zu den Seiten  (Abb. 3). Die Summe dieser drei Abstandsvektoren ist ein Richtungsvektor der Eulergeraden.

Abb. 3: Richtungsvektor der Eulergeraden

 

3.2    Beweis

Wir zeichnen den Feuerbach-Quader ein (Abb. 4).

Abb. 4: Feuerbach-Quader

 

Unsere Vektorsumme ist zunŠchst ein Kantenzug auf dem Quader. Der resultierende Vektor ist der Diagonalen-Vektor . Wir haben also durch das HintertŸrchen doch den Hšhenschnittpunkt gezeichnet, allerdings nicht als Schnittpunkt der drei Hšhen.

3.3    Variante

Wir arbeiten mit den drei Vektoren  (Abb. 5). Ihre Summe ist ebenfalls der Vektor .

Abb. 5: Variante

 

Beweis: Es ist  (Indizes zyklisch modulo 3). Somit ist:

 

 

3.4    Kombinatorisches

Es gibt 3! = 6 Mšglichkeiten, die Summe von drei Vektoren darzustellen (Abb. 5).

Abb. 6: WŸrfel?

 

Es entsteht eine gleichseitige Figur aus sechs Rhomben. Wir sind geneigt, diese Figur rŠumlich zu sehen, sollten sie aber flach sehen.

Wir kšnnen nun auf 8 Arten drei Punkte auswŠhlen, welche auf das blaue KantengerŸst bezogen je die Hamming-Distanz 2 haben. Hamming-Distanz 2 hei§t: Ein KantenkŠfer der sich nur entlang der blauen Kanten bewegen kann, muss genau zwei Kanten von einem Punkt zum anderen zurŸcklegen.

Das kann man sich so Ÿberlegen: Wir wŠhlen einen von den acht Punkten und nehmen die drei anderen Endpunkte der von diesem Punkt ausgehenden Kanten. In der Abbildung 7 sind die drei zum roten Punkt links benachbarten Punkte ausgewŠhlt und zum Dreieck verbunden.

Abb. 7: Dreieck in der Rhombenfigur

 

Der rote Punkt ganz links ist dann der Umkreismittelpunkt des Dreiecks (trivial), der dazu diametrale Punkt der Hšhenschnittpunkt (weniger trivial). Die Abbildung 8 zeigt die Situation in extenso.

Abb. 8: Umkreismittelpunkt und Hšhenschnittpunkt

 

Wir versuchen nun, die Figur doch rŠumlich zu sehen (Abb. 9) und schneiden das gelbe Dreieck mit der Raumdiagonalen UH.

Abb. 9: RŠumliche Sicht

 

Der Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S des gelben Dreiecks. Planimetrisch gesehen ist die Gerade UH die Eulergerade des gelben Dreiecks. Damit sind wir wieder beim Thema.

4     Konstruktion mit dem Hšhenschnittpunkt allein

Wir zeichnen den Hšhenschnittpunkt H und dazu die Abstandsvektoren  zu den Ecken  (Abb. 10). Die Summe dieser Abstandsvektoren ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Eulergeraden.

Abb. 10: Richtungsvektor der Eulergeraden

 

Wegen  ist dies aber nur eine Variante der Konstruktion mit dem Umkreismittelpunkt.

 

Literatur

Walser, Hans (2007): Die Eulersche Gerade. Beweis ohne Worte. UNI NOVA Wissenschaftsmagazin der UniversitŠt Basel. 105 – MŠrz 2007. 20.

Walser, Hans (2011): Geometrische Miniaturen. Figuren – Muster – Symmetrien. Leipzig. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-42-4.