Hans Walser, [20250914]

Falscher Viertelkreis

1 Worum es geht

Approximation eines Viertelkreises durch eine implizite Gleichung.

2 Stimmige Beispiele

Wir arbeiten mit der impliziten Gleichung:

x^a + y^a = 1, x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]

Für a = 2 ist dies die Kreisgleichung, wir erhalten einen Viertelkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Echter Viertelkreis

Für a = 1 ergibt sich eine Strecke (Abb. 2).

Abb. 2: Strecke

Die Abbildung 3 zeigt eine einschlägige Animation bei Variation von a. Der Parameter a läuft in der Theorie von 0 bis ∞, in der Animation der Abbildung 3 von 1/49 bis 343.

Abb. 3: Animation

3 Fragwürdiges Beispiel

Für a = 0.564 erhalten wir die Kurve der Abbildung 4.

Abb. 4: Viertelkreis?

In der Abbildung 5 ist zusätzlich der echte Kreis mit dem Mittelpunkt M(1, 1) und dem Radius 1 blau eingezeichnet.

Abb. 5: Vergleich mit echtem Kreis

Es stellen sich zwei Fragen:

(1) Ist die rote Kurve ein echter Viertelkreis?

(2) Wie ergibt sich die Zahl a = 0.564 ?

4 Bearbeitung

4.1 Berechnung des Exponenten

Auf dem blauen Kreis liegt der Punkt (rot in Abb. 6) mit den Koordinaten:

Abb. 6: Stützpunkt

Damit dieser Punkt auch auf der roten Kurve liegt, muss gelten:

Daraus ergibt sich:

Die Zahl a ist irrational.

4.2 Kontrolle

Der Kontroll-Punkt mit den Koordinaten (blau in Abb. 7)

erfüllt aber die Gleichung x^a + y^a = 1 nicht.

Abb. 7: Kontroll-Punkt

Die rote Kurve ist also kein Viertelkreis.