1 Problemstellung

Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck hat das irrationale Seitenverhältnis 1:1:sqrt(2). Es ist kein pythagoreisches Dreieck.

Hingegen sind beim pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 (ägyptisches Dreieck, Abb. 1) die beiden Katheten fast gleich lang. Sie unterscheiden sich nur um 1.

Abb. 1: Fast gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck

Beim pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 20:21:29 (Chemnitzer-Dreieck) sind die beiden Katheten ebenfalls fast gleich lang. Sie unterscheiden sich nur um 1.

Gibt es weitere fast gleichschenklige pythagoreische Dreiecke?

2 Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Wir konstruieren die verallgemeinerte Fibonacci-Folge mit den Startwerten

c[0] := 1:

c[1] := 5:

und der Rekursion:

c[n] := 6*c[n-1] - c[n-2]:

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Folgenglieder. Wir erkennen die Hypotenusenlängen der beiden oben angegebenen Beispiele von fast gleichschenkligen pythagoreischen Dreiecken.

n	c[n]
0	1
1	5
2	29
3	169
4	985
5	5741
6	33461
7	195025
8	1136689
9	6625109
10	38613965

Tab. 1: Folgenglieder

3 Bestimmung der Katheten

Wir definieren:

a[n] := trunc(c[n]/sqrt(2)):

Die Funktion trunc bedeutet Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl. Weiter definieren wir:

b[n] := a[n] + 1:

Damit haben wir die ganzzahligen Katheten, die sich nur um 1 unterscheiden (Tab. 2).

n	a[n]	b[n]	c[n]
0	0	1	1
1	3	4	5
2	20	21	29
3	119	120	169
4	696	697	985
5	4059	4060	5741
6	23660	23661	33461
7	137903	137904	195025
8	803760	803761	1136689
9	4684659	4684660	6625109
10	27304196	27304197	38613965

Tab. 2: Fast gleichschenklige pythagoreische Dreiecke

Wer Lust hat, darf dies beweisen.

Weblinks

Thomas Jahre: Aufgabe der Woche

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html