1 Worum es geht

Ein Schnittpunkt im Kontext von gleichseitigen Dreiecken.

Sonderfall eines Fermat-Punktes.

2 Drei Dreiecke

Wir beginnen mit einem festen gleichseitigen Dreieck und wählen auf seiner Basisseite einen Teilpunkt.

Zusammen mit diesem Teilpunkt zeichnen wir zwei weitere gleichseitige Dreiecke (Abb. 1). Der Teilpunkt ist variabel und kann sowohl ein innerer als auch ein äußerer Teilpunkt der Basisseite sein. Bei einem inneren Teilpunkt werden die zusätzlichen Dreiecke beide mit der Spitze nach unten gezeichnet. Bei einem äußeren Teilpunkt wird ein zusätzliches Dreieck nach oben und das andere nach unten gezeichnet.

Die beiden zusätzlichen Dreiecke können bei äußeren Teilpunkten beliebig groß werden. In den Animationen der Abbildungen ist immer nur ein Ausschnitt gezeichnet.

Abb. 1: Drei gleichseitige Dreiecke

3 Umkreise

Wir zeichnen nun die Umkreise der drei Dreiecke (blau in Abb. 2).

Die drei Umkreise haben unabhängig von der Wahl des Teilpunktes einen gemeinsamen Schnittpunkt (rot in Abb. 2).

Abb. 2: Umkreise

4 Strahle

Wir zeichnen nun drei Strahle ein (orange in Abb. 3). Die Strahle gehen von je einer Dreiecksspitze aus und verlaufen durch den gemeinsamen Basispunkt der beiden anderen Dreiecke.

Die drei Strehle haben unabhängig von der Wahl des Teilpunktes einen gemeinsamen Schnittpunkt (rot in Abb. 3). Sei schneiden sich unter Winkeln von 120°.

Abb. 3: Strahle

5 Fermat-Punkt

Die beiden Schnittpunkte sind identisch (Abb. 4).

Es handelt sich um den (äußeren) Fermat-Punkt des flachgedrückten Dreieckes, das aus den beiden Basispunkten des Startdreiecks und dem Teilpunkt besteht. In den Abbildungen ist dies die horizontale Strecke.

Abb. 4: Fermat-Punkt

Weblinks

Hans Walser: Schnittpunkte

https://walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/index.html