Hans Walser, [20100509a]

Fermat mit negativen Exponenten

Anregung: T. G., B.

Vgl. [Morgan 2010]

1 Ausgangsfrage

Gesucht sind Lösungen der Gleichung:

2 Beispiele und Gegenbeispiele

a) Für gibt es keine Lösung (Fermat’s Last Theorem, Beweis durch Wiles 1995)

b) Für gibt es die pythagoreischen Zahlentripel. Einfachstes Beispiel ist .

c) Für ist der Fall trivial. Einfachstes Beispiel ist .

d) Für gibt es wegen keine Lösung.

e) Für zwei Beispiele:

f) Für zwei Beispiele:

g) Niemand ist eingeladen, für Beispiele zu suchen.

3 Hintergrund

3.1 Umrechungsformeln

Aus einer Lösung mit dem Exponenten z lässt sich eine Lösung mit dem Exponenten konstruieren:

Falls , so erhalten wir durch die Zuordnung

eine ganzzahlige Lösung der Gleichung .

Beweis: Zu zeigen ist: 1) Es ist eine Lösung. 2) Sie ist ganzzahlig.

Ad 1), Lösung:

Wir verwenden die Bezeichnung . Damit erhalten wir:

Ad 2), Ganzzahligkeit:

Wir verwenden die Primfaktorzerlegungen:

Damit ist:

Die Exponenten in der Primfaktorzerlegung können wir anders schreiben. Es ist nämlich:

Somit ist:

Weiter ist zum Beispiel:

Wegen ist ganzzahlig. Analog für und .

Bemerkung: Auf Grund dieser Umrechungsformeln ist aus Fermat’s Last Theorem klar, dass es für keine Lösung geben kann.

3.2 Involution

Die Zuordnung ist involutorisch:

Zunächst berechnen wir

und dazu:

Analog:

Daraus ergibt sich:

also:

Wieder können wir die Exponenten umformen. Es ist:

Somit ist:

Wir verwenden nun die Schreibweise:

Damit wird zum Beispiel:

Für die Exponenten gilt:

Somit ist und analog und . Damit ist die Involutionseigenschaft bewiesen.

3.3 Beispiele

3.3.1 z = ±1

a) Aus erhalten wir , also .

b) Aus erhalten wir , also .

3.3.2 z = ±2

a) Aus erhalten wir , also .

b) Aus erhalten wir , also . Umgekehrt ist , wir kommen also wieder zurück.

c) Aus erhalten wir , also .

4 Weitere Spielereien

4.1 Exponent –1

Aus erhalten wir , also:

Wir wenden nun diesen Sachverhalt iterativ an:

Für die Nenner haben wir die Folge:

Es gilt die Rekursion:

Der Computer liefert:

d[1] = 2

d[2] = 3

d[3] = 7

d[4] = 43

d[5] = 1807

d[6] = 3263443

d[7] = 10650056950807

d[8] = 113423713055421844361000443

d[9] = 12864938683278671740537145998360961546653259485195807

Die Nenner sind nicht alles Primzahlen. Die erste Nichtprimzahl ist:

4.2 Exponent –2

4.2.1 Pythagoreische Dreiecke

Wir rechnen die pythagoreischen Zahlentripel um. Dabei lassen wir auch nichtprimitive Zahlentripel zu. Wir verwenden die übliche Parametrisierung mit und:

u	v	a	b	c
2	1	3	4	5	1	20	15	12
3	1	8	6	10	2	30	40	24
3	2	5	12	13	1	156	65	60
4	1	15	8	17	1	136	255	120
4	2	12	16	20	4	80	60	48
4	3	7	24	25	1	600	175	168
5	1	24	10	26	2	130	312	120
5	2	21	20	29	1	580	609	420
5	3	16	30	34	2	510	272	240
5	4	9	40	41	1	1640	369	360
6	1	35	12	37	1	444	1295	420
6	2	32	24	40	8	120	160	96
6	3	27	36	45	9	180	135	108
6	4	20	48	52	4	624	260	240
6	5	11	60	61	1	3660	671	660
7	1	48	14	50	2	350	1200	336
7	2	45	28	53	1	1484	2385	1260
7	3	40	42	58	2	1218	1160	840
7	4	33	56	65	1	3640	2145	1848
7	5	24	70	74	2	2590	888	840
7	6	13	84	85	1	7140	1105	1092
8	1	63	16	65	1	1040	4095	1008
8	2	60	32	68	4	544	1020	480
8	3	55	48	73	1	3504	4015	2640
8	4	48	64	80	16	320	240	192
8	5	39	80	89	1	7120	3471	3120
8	6	28	96	100	4	2400	700	672
8	7	15	112	113	1	12656	1695	1680
9	1	80	18	82	2	738	3280	720
9	2	77	36	85	1	3060	6545	2772
9	3	72	54	90	18	270	360	216
9	4	65	72	97	1	6984	6305	4680
9	5	56	90	106	2	4770	2968	2520
9	6	45	108	117	9	1404	585	540
9	7	32	126	130	2	8190	2080	2016
9	8	17	144	145	1	20880	2465	2448
10	1	99	20	101	1	2020	9999	1980
10	2	96	40	104	8	520	1248	480
10	3	91	60	109	1	6540	9919	5460
10	4	84	80	116	4	2320	2436	1680
10	5	75	100	125	25	500	375	300
10	6	64	120	136	8	2040	1088	960
10	7	51	140	149	1	20860	7599	7140
10	8	36	160	164	4	6560	1476	1440
10	9	19	180	181	1	32580	3439	3420

4.2.2 Geometrische Bedeutung

Im Dreieck mit haben wir die Höhen:

Wenn wir mit dem Längenfaktor 5 vergrößern, erhalten wir:

Die transformierten Tripel geben die Höhenverhältnisse wieder.

Literatur

[Morgan 2010] Morgan, Frank: Fermat’s Last Theorem for Fractional and Irrational Exponents. The College Mathematics Journal, Vol. 41, No. 3, May 2010, p. 182-185.