Hans Walser, [20100514a]

Fibonacci trifft Pythagoras

Anregung: I. Y.

1        Worum geht es?

Mit den Fibonacci-Zahlen werden pythagoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zu den Fibonacci-Zahlen zurŸckfŸhren. Als Nebenresultat ergibt sich eine Folge von Konstruktionen fŸr den goldenen Schnitt.

2        Pythagoreische Dreiecke

Erinnerung: Mit  erhalten wir durch

 

ein ganzzahliges Zahlentripel, welches der Bedingung  genŸgt. Damit kšnnen wir auch ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen SeitenlŠngen konstruieren.

Wir verwenden nun fŸr u und v die Fibonacci-Zahlen  der folgenden Tabelle. Diese haben die Startwerte  und die Rekursion . In der Tabelle sind auf Vorrat auch noch die Lucas-Zahlen  aufgelistet, welche sich von den Fibonacci-Zahlen nur durch andere Startwerte  unterscheiden. Die Rekursion ist dieselbe.

 

 

 

2.1      Versatz 1

In der folgenden Tabelle sind fŸr u und v die Fibonacci-Zahlen mit einem Versatz von 1 verwendet worden, das hei§t es ist  und . Die u sind gegenŸber den v um eine Stelle versetzt.

 

1

2

1

3

4

5

0.750000

1.250000

2

3

2

5

12

13

0.416667

1.083333

3

5

3

16

30

34

0.533333

1.133333

4

8

5

39

80

89

0.487500

1.112500

5

13

8

105

208

233

0.504808

1.120192

6

21

13

272

546

610

0.498168

1.117216

7

34

21

715

1428

1597

0.500700

1.118347

8

55

34

1869

3740

4181

0.499733

1.117914

9

89

55

4896

9790

10946

0.500102

1.118080

10

144

89

12815

25632

28657

0.499961

1.118017

11

233

144

33553

67104

75025

0.500015

1.118041

12

377

233

87840

175682

196418

0.499994

1.118031

13

610

377

229971

459940

514229

0.500002

1.118035

14

987

610

602069

1204140

1346269

0.499999

1.118034

15

1597

987

1576240

3152478

3524578

0.500000

1.118034

 

Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:

 

 

FŸr  nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis

 

an. Das ist das klassische rechtwinklige Dreieck, das sehr vielen Konstruktionen des goldenen Schnittes zugrunde liegt.

2.2      Versatz 2

Nun ist  und . Die u sind gegenŸber den v um zwei Stellen versetzt, die v bleiben unverŠndert.

 

1

3

1

8

6

10

1.333333

1.666667

2

5

2

21

20

29

1.050000

1.450000

3

8

3

55

48

73

1.145833

1.520833

4

13

5

144

130

194

1.107692

1.492308

5

21

8

377

336

505

1.122024

1.502976

6

34

13

987

884

1325

1.116516

1.498869

7

55

21

2584

2310

3466

1.118615

1.500433

8

89

34

6765

6052

9077

1.117812

1.499835

9

144

55

17711

15840

23761

1.118119

1.500063

10

233

89

46368

41474

62210

1.118002

1.499976

 

Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:

 

 

FŸr  nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis

 

an.

2.3      Versatz 5

Noch das Beispiel mit Versatz 5, also .

 

1

13

1

168

26

170

6.461538

6.538462

2

21

2

437

84

445

5.202381

5.297619

3

34

3

1147

204

1165

5.622549

5.710784

4

55

5

3000

550

3050

5.454545

5.545455

5

89

8

7857

1424

7985

5.517556

5.607444

6

144

13

20567

3744

20905

5.493323

5.583600

7

233

21

53848

9786

54730

5.502555

5.592683

8

377

34

140973

25636

143285

5.499025

5.589210

9

610

55

369075

67100

375125

5.500373

5.590537

10

987

89

966248

175686

982090

5.499858

5.590030

 

Wir vermuten:

 

 

FŸr  nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis

 

an. Ob sich auch mit diesem Dreieck der goldene Schnitt konstruieren lŠsst, Ÿberlassen wir den TŸftlern.

3        †bersicht

Ein Feldversuch mit verschiedenen Versatzzahlen m lŠsst mit der Normierung  folgende SeitenverhŠltnisse  fŸr die jeweiligen Grenzdreiecke vermuten:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wir erkennen bei den a und c im Wechsel die Lucas-Zahlen und die Fibonacci-Zahlen. Wir vermuten somit:

m ungerade:   

 

m gerade:       

 

4        Beweise

4.1      Schreibweisen und Formeln

FŸr den goldenen Schnitt verwenden wir die Schreibweisen:

 

 

Es ist .

Ferner verwenden wir die Formeln von Binet:

 

 

Wegen  ist ; wir kšnnen bei Grenzwertprozessen den  weglassen.

Schlie§lich die Formel von Catalan:

 

 

Mit  und  lŠsst sich diese Formel von Catalan in folgender Form schreiben:

 

 

4.2      Grenzdreiecke

Wir zeigen zunŠchst:

 

FŸr ungerades m erhalten wir unter Verwendung von :

 

 

 

 

 

FŸr gerades m verlŠuft die Rechnung analog.

4.3      Grenzwerte

Zu zeigen ist:

m ungerade:   

 

m gerade:       

 

Wegen der oben bewiesenen Pythagoras-Beziehung haben wir in jedem der beiden FŠlle nur einen der beiden Grenzwerte nachzuweisen.

ZunŠchst sei wiederum m ungerade. Die Formel von Catalan lautet in diesem Fall:

 

Aufgrund der Formeln fŸr die Konstruktion der pythagoreischen Dreiecke erhalten wir damit:

 

Weiter ist:

 

Damit erhalten wir:

 

 

Damit ist der Fall fŸr ungerades m vollstŠndig bewiesen.

FŸr gerades m lŠuft der Beweis analog, es wird  bewiesen.

5        Konstruktionen des goldenen Schnittes im Quadratraster

Aufgrund der Tabelle

 

 

 

 

 

 

 

ergibt sich eine Folge von Konstruktionen des goldenen Schnittes im Quadratraster, allerdings mit einer Fallunterscheidung bezŸglich der ParitŠt von m.

In beiden FŠllen beginnen wir mit einem Rechteck im Karoraster, das  Einheiten lang und 2 Einheiten hoch ist.

FŸr ungerades m arbeiten wir dann gemŠ§ Figur (Figur exakt fŸr ). Am oberen Rand wird durch Dritteln die Fiboancci-Zahl  sichtbar gemacht. Am unteren Rand tragen wir von rechts her den Abstand  ein. Dann schlagen wir einen Bogen um die Ecke rechts oben gemŠ§ Figur und erhalten auf dem oberen Rand einen Teilpunkt, welcher das aus den ersten beiden Fibonacci-Strecken gebildete Intervall im VerhŠltnis des goldenen Schnittes teilt. Der Kreisbogen verlŠuft von unten nach oben.

m ungerade

Die blaue und die rote Strecke sind dann im VerhŠltnis des goldenen Schnittes.

FŸr gerades m sieht das so aus (Figur exakt fŸr ). Nun werden die drei Fibonacci-Strecken am unteren Rand eingezeichnet und  am oberen Rand von rechts her abgetragen. Der Kreisbogen hat immer noch die Ecke rechts oben als Zentrum, verlŠuft nun aber von oben nach unten.

m gerade

Nun explizite Beispiele.

5.1      m = 1

Es ist .

m = 1

5.2      m = 2

Es ist .

m = 2

5.3      m = 3

Es ist .

m = 3

5.4      m = 4

Es ist .

m = 4

5.5      m = 5

Es ist .

m = 5