Hans Walser, [20120628], [20140317a]

Fibonacci-Dreieck

Anregung: K. H., Gš.

1        Fragestellung

Ein rechtwinkliges Dreieck habe als KathetenlŠngen die Fibonacci-Zahlen  und . Wie lang ist seine Hypotenuse.

2        Beispiele

n

Hypotenuse

Bemerkungen

1

1

1

Halbes Quadrat

2

1

2

Domino-Dreieck oder
Ršsselsprung-Dreieck

3

2

3

 

4

3

5

 

Wir erkennen die bekannte Formel:

 

Illustration im Fibonacci-Dreieck:


Fibonacci-Dreieck

3        Beweis

Es sei  (goldener Schnitt). Wir verwenden die Formel von Binet:

 

Damit wird:

 

Entsprechend:

 

Damit erhalten wir:

 

 

 

 

Wegen  folgt schlie§lich:

 

Dies war zu beweisen.

4        Normierung

Wir normieren die lange Kathete auf 1, indem wir alle LŠngen durch  dividieren.

Normierung

5        Konstruktion

Und nun fŸhren wir eine Konstruktion durch, die wir der klassischen Konstruktion des Goldenen Schnittes abgeguckt haben. FŸr  ist es genau die klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes (vgl. Walser, 2013).

Konstruktion

Wir fŸhren folgende Zahlen ein:

 

 

Die Tabelle zeigt die ersten Werte dieser Zahlen.

1

2.414213562

0.4142135624

2

1.618033989

0.6180339887

3

1.868517092

0.5351837585

4

1.766190379

0.566190379

5

1.804247642

0.5542476415

6

1.789564425

0.558795194

7

1.795151337

0.5570560986

8

1.793014188

0.5577200707

9

1.793830048

0.5574664117

10

1.793518351

0.5575632944

11

1.793637399

0.5575262875

12

1.793591925

0.5575404227

13

1.793609294

0.5575350235

14

1.79360266

0.5575370858

15

1.793605194

0.5575362981

16

1.793604226

0.557536599

17

1.793604596

0.5575364841

18

1.793604454

0.557536528

19

1.793604508

0.5575365112

20

1.793604488

0.5575365176

21

1.793604496

0.5575365152

22

1.793604493

0.5575365161

23

1.793604494

0.5575365157

24

1.793604493

0.5575365159

25

1.793604493

0.5575365158

26

1.793604493

0.5575365158

27

1.793604493

0.5575365158

28

1.793604493

0.5575365158

29

1.793604493

0.5575365158

30

1.793604493

0.5575365158

Tabelle

6        Eigenschaften der Zahlen

FŸr das Produkt der beiden Zahlen erhalten wir:

 

 

Wegen  ist  und daher:

 

 

Die beiden Zahlen sind Kehrwerte voneinander.

FŸr die Differenz der beiden Zahlen erhalten wir:

 

 

Die Differenzen sind rational.

7        SonderfŠlle

FŸr  erhalten wir:

FŸr  erhalten wir den Goldenen Schnitt:

FŸr  wird das Dreieck das halbe Goldene Rechteck mit der Langseite 1 und der Schmalseite . Wir erhalten:

 

 

 

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.