Hans Walser, [20120628], [20140317a]
Fibonacci-Dreieck
Anregung: K. H., Gš.
Ein rechtwinkliges Dreieck habe als KathetenlŠngen die Fibonacci-Zahlen und . Wie lang ist seine Hypotenuse.
n |
|
|
Hypotenuse |
Bemerkungen |
1 |
1 |
1 |
|
Halbes Quadrat |
2 |
1 |
2 |
|
Domino-Dreieck oder |
3 |
2 |
3 |
|
|
4 |
3 |
5 |
|
|
Wir erkennen die bekannte Formel:
Illustration im Fibonacci-Dreieck:
Fibonacci-Dreieck
Es sei (goldener Schnitt). Wir verwenden die Formel von Binet:
Damit wird:
Entsprechend:
Damit erhalten wir:
Wegen folgt schlie§lich:
Dies war zu beweisen.
Wir normieren die lange Kathete auf 1, indem wir alle LŠngen durch dividieren.
Normierung
Und nun fŸhren wir eine Konstruktion durch, die wir der klassischen Konstruktion des Goldenen Schnittes abgeguckt haben. FŸr ist es genau die klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes (vgl. Walser, 2013).
Konstruktion
Wir fŸhren folgende Zahlen ein:
Die Tabelle zeigt die ersten Werte dieser Zahlen.
|
|
|
1 |
2.414213562 |
0.4142135624 |
2 |
1.618033989 |
0.6180339887 |
3 |
1.868517092 |
0.5351837585 |
4 |
1.766190379 |
0.566190379 |
5 |
1.804247642 |
0.5542476415 |
6 |
1.789564425 |
0.558795194 |
7 |
1.795151337 |
0.5570560986 |
8 |
1.793014188 |
0.5577200707 |
9 |
1.793830048 |
0.5574664117 |
10 |
1.793518351 |
0.5575632944 |
11 |
1.793637399 |
0.5575262875 |
12 |
1.793591925 |
0.5575404227 |
13 |
1.793609294 |
0.5575350235 |
14 |
1.79360266 |
0.5575370858 |
15 |
1.793605194 |
0.5575362981 |
16 |
1.793604226 |
0.557536599 |
17 |
1.793604596 |
0.5575364841 |
18 |
1.793604454 |
0.557536528 |
19 |
1.793604508 |
0.5575365112 |
20 |
1.793604488 |
0.5575365176 |
21 |
1.793604496 |
0.5575365152 |
22 |
1.793604493 |
0.5575365161 |
23 |
1.793604494 |
0.5575365157 |
24 |
1.793604493 |
0.5575365159 |
25 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
26 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
27 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
28 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
29 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
30 |
1.793604493 |
0.5575365158 |
Tabelle
FŸr das Produkt der beiden Zahlen erhalten wir:
Wegen ist und daher:
Die beiden Zahlen sind Kehrwerte voneinander.
FŸr die Differenz der beiden Zahlen erhalten wir:
Die Differenzen sind rational.
FŸr erhalten wir:
FŸr erhalten wir den Goldenen Schnitt:
FŸr wird das Dreieck das halbe Goldene Rechteck mit der Langseite 1 und der Schmalseite . Wir erhalten:
Literatur
Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.