Hans Walser, [20260407]

Fibonacci-Folge und Lucas-Folge

Idee und Anregung: Carsten Müller, Jena

1 Die beiden Zahlenfolgen

Die Folge f_n der Fibonacci-Zahlen kann definiert werden wie folgt (Formel von Binet):

Die Folge l_n der Lucas-Zahlen kann entsprechend definiert werden:

Dabei ist

der Goldene Schnitt.

2 Produkt

2.1 Tabelle

Die Tabelle 1 gibt einige Werte der Fibonacci-Folge f_n und der Lucas-Folge l_n sowie deren Produkt.

n	fn	ln	fn• ln
–10	–55	123	–6765
–9	34	–76	–2584
–8	–21	47	–987
–7	13	–29	–377
–6	–8	18	–144
–5	5	–11	–55
–4	–3	7	–21
–3	2	–4	–8
–2	–1	3	–3
–1	1	–1	–1
0	0	2	0
1	1	1	1
2	1	3	3
3	2	4	8
4	3	7	21
5	5	11	55
6	8	18	144
7	13	29	377
8	21	47	987
9	34	76	2584
10	55	123	6765

Tab. 1: Die beiden Folgen und deren Produkt

2.2 Vermutung

Wir vermuten:

2.3 Beweis

Der Beweis geht ganz einfach mit der sogenannten dritten binomischen Formel.

3 Summe

3.1 Tabelle

Die Tabelle 2 gibt einige Werte der Fibonacci-Folge f_n und der Lucas-Folge l_n sowie deren Summe.

n	fn	ln	fn + ln
–10	–55	123	68
–9	34	–76	–42
–8	–21	47	26
–7	13	–29	–16
–6	–8	18	10
–5	5	–11	–6
–4	–3	7	4
–3	2	–4	–2
–2	–1	3	2
–1	1	–1	0
0	0	2	2
1	1	1	2
2	1	3	4
3	2	4	6
4	3	7	10
5	5	11	16
6	8	18	26
7	13	29	42
8	21	47	68
9	34	76	110
10	55	123	178

Tab. 2: Die beiden Folgen und deren Summe

3.2 Vermutung

3.3 Beweis

4 Differenz

4.1 Tabelle

Die Tabelle 3 gibt einige Werte der Fibonacci-Folge f_n und der Lucas-Folge l_n sowie deren Differenz l_n – f_n.

n	fn	ln	ln – fn
–10	–55	123	178
–9	34	–76	–110
–8	–21	47	68
–7	13	–29	–42
–6	–8	18	26
–5	5	–11	–16
–4	–3	7	10
–3	2	–4	–6
–2	–1	3	4
–1	1	–1	–2
0	0	2	2
1	1	1	0
2	1	3	2
3	2	4	2
4	3	7	4
5	5	11	6
6	8	18	10
7	13	29	16
8	21	47	26
9	34	76	42
10	55	123	68

Tab. 3: Die beiden Folgen und deren Differenz

4.2 Vermutung

4.3 Beweis

5 Quotient

5.1 Tabelle

Die Tabelle 4 gibt einige Werte der Fibonacci-Folge f_n und der Lucas-Folge l_n sowie deren Quotient f_n/l_n.

n	fn	ln	fn/ln	dezimal
–25	75025	–167761	–75025/167761	–.4472135955
–24	–46368	103682	–23184/51841	–.4472135954
–23	28657	–64079	–28657/64079	–.4472135957
–22	–17711	39603	–17711/39603	–.4472135949
–21	10946	–24476	–5473/12238	–.4472135970
–20	–6765	15127	–6765/15127	–.4472135916
–19	4181	–9349	–4181/9349	–.4472136057
–18	–2584	5778	–1292/2889	–.4472135687
–17	1597	–3571	–1597/3571	–.4472136656
–16	–987	2207	–987/2207	–.4472134119
–15	610	–1364	–305/682	–.4472140762
–14	–377	843	–377/843	–.4472123369
–13	233	–521	–233/521	–.4472168906
–12	–144	322	–72/161	–.4472049689
–11	89	–199	–89/199	–.4472361809
–10	–55	123	–55/123	–.4471544715
–9	34	–76	–17/38	–.4473684211
–8	–21	47	–21/47	–.4468085106
–7	13	–29	–13/29	–.4482758621
–6	–8	18	–4/9	–.4444444444
–5	5	–11	–5/11	–.4545454545
–4	–3	7	–3/7	–.4285714286
–3	2	–4	–1/2	–.5000000000
–2	–1	3	–1/3	–.3333333333
–1	1	–1	–1	–1.
0	0	2	0	0.
1	1	1	1	1.
2	1	3	1/3	.3333333333
3	2	4	1/2	.5000000000
4	3	7	3/7	.4285714286
5	5	11	5/11	.4545454545
6	8	18	4/9	.4444444444
7	13	29	13/29	.4482758621
8	21	47	21/47	.4468085106
9	34	76	17/38	.4473684211
10	55	123	55/123	.4471544715
11	89	199	89/199	.4472361809
12	144	322	72/161	.4472049689
13	233	521	233/521	.4472168906
14	377	843	377/843	.4472123369
15	610	1364	305/682	.4472140762
16	987	2207	987/2207	.4472134119
17	1597	3571	1597/3571	.4472136656
18	2584	5778	1292/2889	.4472135687
19	4181	9349	4181/9349	.4472136057
20	6765	15127	6765/15127	.4472135916
21	10946	24476	5473/12238	.4472135970
22	17711	39603	17711/39603	.4472135949
23	28657	64079	28657/64079	.4472135957
24	46368	103682	23184/51841	.4472135954
25	75025	167761	75025/167761	.4472135955

Tab. 4: Quotient

5.2 Vermutung

5.3 Beweis

Die zweiten Summanden in der Formel von Binet bilden eine Nullfolge.