Hans Walser, [20181205]

Fibonacci-Identität

1 Worum geht es?

Es wird eine mir bislang nicht bekannte Fibonacci-Identität gezeigt.

2 Die Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen werden in der Schreibweise verwendet:

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1	2	3	5	8	13	21

Tab. 1: Fibonacci-Zahlen

3 Eine bereits bekannte Identität

Es gilt:

(1)

Diese Identität soll bereits Kepler bekannt gewesen sein.

Aus (1) ergibt sich:

(2)

4 Die Identität

Es gilt:

(3)

5 Beweis mit Induktion

5.1 Verankerung

Mit den Werten der Tabelle 1 erhalten wir:

Für n = 1 gilt:

(4)

Für n = 2 gilt:

(5)

Für n = 3 gilt:

(6)

5.2 Induktionsschritt

Es gelte (3) für ein partikuläres n. Dann ist:

(7)

Weiter ist wegen (2):

(8)

Damit ist (3) für alle n bewiesen.

6 Folgerung

Mit (Goldener Schnitt) gilt (bekanntlich):

(9)

Wegen (3) gilt nun auch:

(10)