Hans Walser, [20260402]

Fibonacci-Quadrate

Idee und Anregung: Carsten Müller, Jena

1 Worum es geht

Spielerei mit Fibonacci-Zahlen

2 Einstiegsbeispiel

Es ist:

f₃ = 2 f₄ = 3

f₃² = 4 f₄² = 9

f₃² + f₄² = 4 + 9 = 13 = f₇

3 Allgemein

Es gilt:

Die Tabelle 1 gibt einige Werte.

n	fn	fn^2	fn–1^2 + fn^2	f2n–1
–7	13	169	610	610
–6	–8	64	233	233
–5	5	25	89	89
–4	–3	9	34	34
–3	2	4	13	13
–2	–1	1	5	5
–1	1	1	2	2
0	0	0	1	1
1	1	1	1	1
2	1	1	2	2
3	2	4	5	5
4	3	9	13	13
5	5	25	34	34
6	8	64	89	89
7	13	169	233	233
8	21	441	610	610

Tab. 1: Quadratsummen

4 Beweis

Rechnerisch mit der Formel von Binet:

Dabei ist

der Goldene Schnitt.

5 Visualisierung

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten f_n–1 und f_n hat das Hypotenusenquadrat den Flächeninhalt f_2n–1 (Abb. 1). Die Visualisierung ist asymmetrisch, zu zwei Längen erscheint ein Flächeninhalt.

Abb. 1: Visualisierung

Die Abbildung 2 zeigt den Anfang einer unendlichen Visualisierung. Man beachte das unterschiedliche „Krümmungsverhalten“ oben und unten. Schon Kepler hat sich darüber gewundert.

Abb. 2: Visualisierungskette

6 Grenzverhalten

Für große n ist:

Damit wird:

Weblinks

Hans Walser: Miniaturen: Fibonacci

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fibonacci/index.html