Hans Walser, [20090625c]
Fibonacci-Trapeze
Anregung: [Deshpande
2009]
Wir basieren unsere
†berlegungen auf folgender Figur. Einem zentralen Hexagon werden Quadrate
angesetzt.
Hexagon mit aufgesetzten
Quadraten
Die Trapeze sind
offensichtlich gleichschenklig und haben die Basiswinkel 60¡. Sind sie auch
Šhnlich?
Wir interpretieren das
grŸne Dreieck mit etwas Gewalt als Trapez. Es hat die Unterkante 1, die
Schenkel 1 und die Oberkante 0.
Bei den Trapezen
bezeichnen wir die lŠngere Parallelseite als Unterkante, die kŸrzere als Oberkante.
Wir kšnnen die Trapeze ma§getreu in einen Dreiecksraster einzeichnen.
Trapeze im
Dreiecksraster
Die Trapeze sind
offensichtlich nicht Šhnlich.
Es gilt:
Ring Nr. |
Farbe |
Oberkante |
Schenkel |
Unterkante |
0 |
grŸn |
0 |
1 |
1 |
1 |
blau |
1 |
1 |
2 |
2 |
orange |
1 |
2 |
3 |
3 |
magenta |
2 |
3 |
5 |
4 |
gelb |
3 |
5 |
8 |
Das riecht nach
Fibonacci.
Die Trapeze im Ring Nr.
n haben die Oberkante , die Schenkel und
die Unterkante .
Aussage fŸr (blaue Trapeze)
richtig.
Aussage sei richtig bis
und mit Ring Nr. n (Beweisfigur, Šu§erer
hellgrŸner Ring).
Beweisfigur
Ein Trapez im Ring Nr. hat dann die
Oberkante (Quadrat der
SeitenlŠnge ) und die Schenkel (Quadrate der
SeitenlŠnge ). FŸr die Unterkante zerlegen wir gemŠ§ Figur in ein
Parallelogramm und ein Dreieck.
Zerlegung
Die Unterkante hat also
die LŠnge .
Wenn wir die
Konstruktion nach au§en weiterfŸhren, nehmen die Trapeze immer mehr die Form an
eines Trapezes mit der Oberkante , der Schenkel 1 und der Unterkante . Dabei ist und (goldener
Schnitt). Dieses Trapez nennen wir daher das goldene Trapez. Die Basiswinkel des goldenen Trapezes sind 60¡.
Goldenes Trapez
Das goldene Trapez hat
eine bemerkenswerte Eigenschaft: Seine Diagonale hat exakt die LŠnge . Das kann mit dem Kosinussatz nachgewiesen werden.
Wir kšnnen also sechs
goldene Trapeze im Wechsel mit sechs Einheitsquadraten zu einem Ring zusammenfŸgen,
wobei alle Diagonalen gleich lang sind.
Ring mit gleich langen
Diagonalen
In den
Fibonacci-Trapezen ist die Diagonale natŸrlich nur nŠherungsweise das der
SchenkellŠnge. Im Trapez hat die
Diagonale die LŠnge:
Somit ist:
Direkter Beweis:
Tabelle:
q[1] = 1.322875656
q[2] =
1.452966315
q[3] = 1.4
q[4] =
1.419727086
q[5] =
1.412119981
q[6] =
1.415015044
q[7] =
1.413907687
q[8] =
1.414330435
q[9] =
1.414168927
q[10] = 1.414230612
q[11] = 1.41420705
q[12] = 1.41421605
q[13] = 1.414212612
q[14] = 1.414213925
q[15] = 1.414213424
q[16] = 1.414213615
q[17] = 1.414213542
q[18] = 1.41421357
q[19] = 1.414213559
q[20] = 1.414213564
q[21] = 1.414213562
q[22] = 1.414213563
q[23] = 1.414213562
q[24] = 1.414213562
Bemerkenswert ist das
schšne rationale Zwischenresultat .
Wir kšnnen die Trapeze
im Dreiecksraster zu einer Spirale zusammenfŸgen.
Spirale aus
Fibonacci-Trapezen
Die Eckpunkte liegen im
Grenzfall auf einer logarithmischen Spirale. Rechts sind die Trapeze von 0 bis
29 gezeichnet.
Das Trapez im ring Nr. n hat den FlŠcheninhalt:
Insbesondere hat das
grŸne Dreieck, also , den FlŠcheninhalt . Wir nehmen diesen FlŠcheninhalt als Vergleichsma§ und erhalten
so fŸr das Trapez den relativen
FlŠcheninhalt:
Tabellarisch sieht das
so aus:
psi(t[0]) = 1
psi(t[1]) = 3
psi(t[2]) = 8
psi(t[3]) = 21
psi(t[4]) = 55
psi(t[5]) = 144
psi(t[6]) = 377
psi(t[7]) = 987
psi(t[8]) = 2584
psi(t[9]) = 6765
psi(t[10])
= 17711
Zum Vergleich:
f[2*(0+1)] = 1
f[2*(1+1)] = 3
f[2*(2+1)] = 8
f[2*(3+1)] = 21
f[2*(4+1)] = 55
f[2*(5+1)] = 144
f[2*(6+1)] = 377
f[2*(7+1)] = 987
f[2*(8+1)] = 2584
f[2*(9+1)] = 6765
f[2*(10+1)]
= 17711
Offenbar gilt die
IdentitŠt:
Der Beweis geht Ÿber
die Formel von Binet.
RegulŠres Dreieck im
Zentrum
Die gleichschenkligen
Trapeze haben nun Basiswinkel 30¡. Es gilt:
Ring Nr. |
Farbe |
Oberkante |
Schenkel |
Unterkante |
Relative FlŠche |
0 |
grŸn |
0 |
1 |
|
1 (Einheit) |
1 |
blau |
1 |
|
4 |
5 |
2 |
orange |
|
4 |
|
24 |
3 |
magenta |
4 |
|
19 |
115 |
4 |
gelb |
|
19 |
|
551 |
Es gilt die Rekursion:
Weiter ist:
Es gilt die Rekursion:
Die Spirale wŠchst
happig:
Spirale
Beliebiges Dreieck im
Zentrum
Wir haben immer noch
Trapeze, aber keine gleichschenkligen mehr. Das Experiment (Cabri) zeigt, dass
die FlŠchenrelationen noch stimmen:
Ring Nr. n |
Farbe |
Relative FlŠche |
0 |
grŸn |
1 (Einheit) |
1 |
blau |
5 |
2 |
orange |
24 |
3 |
magenta |
115 |
4 |
gelb |
551 |
FŸr den Fall gibt [Deshpande 2009] einen proof without words. FŸr den allgemeinen Fall habe ich keinen Beweis.
Spiralen gibt es auch hier, sogar drei StŸck. Wir wŠhlen aus der Figur eine geeignete Folge von Trapezen aus (geht auf drei Arten), die wir dann ãeinrollenÒ.
Auswahl von Trapezen
Spirale
Quadrat im Zentrum
Die gleichschenkligen
Trapeze haben nun Basiswinkel 45¡. Es gilt:
Ring Nr. |
Farbe |
Oberkante |
Schenkel |
Unterkante |
Relative FlŠche |
0 |
grŸn |
0 |
1 |
|
1 (Einheit) |
1 |
blau |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
orange |
|
3 |
|
15 |
3 |
magenta |
3 |
|
11 |
56 |
4 |
gelb |
|
11 |
|
209 |
Es gilt die Rekursion:
Weiter ist:
Es gilt die Rekursion:
Die Spirale wŠchst:
Spirale
Parallelogramm im
Zentrum
Mit einem
Parallelogramm geht es aber.
Ring Nr. |
Farbe |
Relative FlŠche |
0 |
grŸn |
1 (Einheit) |
1 |
blau |
4 |
2 |
orange |
15 |
3 |
magenta |
56 |
4 |
gelb |
209 |
Beweis?
Mit einem allgemeinen
Viereck im Zentrum geht es nicht; die Trapeze in einem Ring sind nicht mehr
flŠchengleich. Das Dreieck ist ein Sonderfall.
Vermutlich funktioniert
es allgemein fŸr affinregulŠre Vielecke.
Literatur
[Deshpande 2009] Deshpande,
M. N. : Proof Without Words: Beyond Extriangles. MATHEMATICS MAGAZINE. Vol. 82,
No. 3, June 2009, p. 208.