Hans Walser, [20090625c]

Fibonacci-Trapeze

Anregung: [Deshpande 2009]

1 Hexagon mit angesetzten Quadraten

1.1 Basisfigur

Wir basieren unsere Überlegungen auf folgender Figur. Einem zentralen Hexagon werden Quadrate angesetzt.

Hexagon mit aufgesetzten Quadraten

Die Trapeze sind offensichtlich gleichschenklig und haben die Basiswinkel 60°. Sind sie auch ähnlich?

1.2 Analyse der Trapeze

Wir interpretieren das grüne Dreieck mit etwas Gewalt als Trapez. Es hat die Unterkante 1, die Schenkel 1 und die Oberkante 0.

Bei den Trapezen bezeichnen wir die längere Parallelseite als Unterkante, die kürzere als Oberkante. Wir können die Trapeze maßgetreu in einen Dreiecksraster einzeichnen.

Trapeze im Dreiecksraster

Die Trapeze sind offensichtlich nicht ähnlich.

Es gilt:

Ring Nr.	Farbe	Oberkante	Schenkel	Unterkante
0	grün	0	1	1
1	blau	1	1	2
2	orange	1	2	3
3	magenta	2	3	5
4	gelb	3	5	8

Das riecht nach Fibonacci.

Die Trapeze im Ring Nr. n haben die Oberkante , die Schenkel und die Unterkante .

1.3 Induktionsbeweis

Aussage für (blaue Trapeze) richtig.

Aussage sei richtig bis und mit Ring Nr. n (Beweisfigur, äußerer hellgrüner Ring).

Beweisfigur

Ein Trapez im Ring Nr. hat dann die Oberkante (Quadrat der Seitenlänge ) und die Schenkel (Quadrate der Seitenlänge ). Für die Unterkante zerlegen wir gemäß Figur in ein Parallelogramm und ein Dreieck.

Zerlegung

Die Unterkante hat also die Länge .

1.4 Goldenes Trapez

Wenn wir die Konstruktion nach außen weiterführen, nehmen die Trapeze immer mehr die Form an eines Trapezes mit der Oberkante , der Schenkel 1 und der Unterkante . Dabei ist und (goldener Schnitt). Dieses Trapez nennen wir daher das goldene Trapez. Die Basiswinkel des goldenen Trapezes sind 60°.

Goldenes Trapez

Das goldene Trapez hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Seine Diagonale hat exakt die Länge . Das kann mit dem Kosinussatz nachgewiesen werden.

Wir können also sechs goldene Trapeze im Wechsel mit sechs Einheitsquadraten zu einem Ring zusammenfügen, wobei alle Diagonalen gleich lang sind.

Ring mit gleich langen Diagonalen

In den Fibonacci-Trapezen ist die Diagonale natürlich nur näherungsweise das der Schenkellänge. Im Trapez hat die Diagonale die Länge:

Somit ist:

Direkter Beweis:

Tabelle:

q[1] = 1.322875656

q[2] = 1.452966315

q[3] = 1.4

q[4] = 1.419727086

q[5] = 1.412119981

q[6] = 1.415015044

q[7] = 1.413907687

q[8] = 1.414330435

q[9] = 1.414168927

q[10] = 1.414230612

q[11] = 1.41420705

q[12] = 1.41421605

q[13] = 1.414212612

q[14] = 1.414213925

q[15] = 1.414213424

q[16] = 1.414213615

q[17] = 1.414213542

q[18] = 1.41421357

q[19] = 1.414213559

q[20] = 1.414213564

q[21] = 1.414213562

q[22] = 1.414213563

q[23] = 1.414213562

q[24] = 1.414213562

Bemerkenswert ist das schöne rationale Zwischenresultat .

1.5 Eine Spirale

Wir können die Trapeze im Dreiecksraster zu einer Spirale zusammenfügen.

Spirale aus Fibonacci-Trapezen

Die Eckpunkte liegen im Grenzfall auf einer logarithmischen Spirale. Rechts sind die Trapeze von 0 bis 29 gezeichnet.

1.6 Flächeninhalt

Das Trapez im ring Nr. n hat den Flächeninhalt:

Insbesondere hat das grüne Dreieck, also , den Flächeninhalt . Wir nehmen diesen Flächeninhalt als Vergleichsmaß und erhalten so für das Trapez den relativen Flächeninhalt:

Tabellarisch sieht das so aus:

psi(t[0]) = 1

psi(t[1]) = 3

psi(t[2]) = 8

psi(t[3]) = 21

psi(t[4]) = 55

psi(t[5]) = 144

psi(t[6]) = 377

psi(t[7]) = 987

psi(t[8]) = 2584

psi(t[9]) = 6765

psi(t[10]) = 17711

Zum Vergleich:

f[2*(0+1)] = 1

f[2*(1+1)] = 3

f[2*(2+1)] = 8

f[2*(3+1)] = 21

f[2*(4+1)] = 55

f[2*(5+1)] = 144

f[2*(6+1)] = 377

f[2*(7+1)] = 987

f[2*(8+1)] = 2584

f[2*(9+1)] = 6765

f[2*(10+1)] = 17711

Offenbar gilt die Identität:

Der Beweis geht über die Formel von Binet.

2 Andere Vielecke im Zentrum

2.1 Dreieck im Zentrum

2.1.1 Reguläres Dreieck im Zentrum

Reguläres Dreieck im Zentrum

Die gleichschenkligen Trapeze haben nun Basiswinkel 30°. Es gilt:

Ring Nr. n	Farbe	Oberkante	Schenkel	Unterkante	Relative Fläche
0	grün	0	1		1 (Einheit)
1	blau	1		4	5
2	orange		4		24
3	magenta	4		19	115
4	gelb		19		551

Es gilt die Rekursion:

Weiter ist:

Es gilt die Rekursion:

Die Spirale wächst happig:

Spirale

2.1.2 Beliebiges Dreieck im Zentrum

Beliebiges Dreieck im Zentrum

Wir haben immer noch Trapeze, aber keine gleichschenkligen mehr. Das Experiment (Cabri) zeigt, dass die Flächenrelationen noch stimmen:

Ring Nr. n	Farbe	Relative Fläche
0	grün	1 (Einheit)
1	blau	5
2	orange	24
3	magenta	115
4	gelb	551

Für den Fall gibt [Deshpande 2009] einen proof without words. Für den allgemeinen Fall habe ich keinen Beweis.

Spiralen gibt es auch hier, sogar drei Stück. Wir wählen aus der Figur eine geeignete Folge von Trapezen aus (geht auf drei Arten), die wir dann „einrollen“.