Hans Walser, [20260126]
Fibonacci-Turm
Idee und Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz, Aufgabe 71 - 848
1 Problemstellung
„In der Geburtsstadt von Fibonacci, in Pisa, gab es mal den Plan, einen Turm aus Würfeln zu errichten, deren Volumen (in m³) jeweils einer Fibonacci-Zahl entsprechen sollte.“ (Thomas Jahre)
2 Tabelle
Die Tabelle 1 gibt die ersten Daten. Die Gesamthöhe des Turms wächst näherungsweise exponentiell mit dem Zuwachsfaktor:
|
n |
Fibonacci-Zahl |
Kantenlänge des Würfels |
Gesamthöhe
bis n |
|
1 |
1 |
1. |
1. |
|
2 |
1 |
1. |
2. |
|
3 |
2 |
1.259921050 |
3.259921050 |
|
4 |
3 |
1.442249570 |
4.702170620 |
|
5 |
5 |
1.709975947 |
6.412146567 |
|
6 |
8 |
2.000000000 |
8.412146567 |
|
7 |
13 |
2.351334688 |
10.76348126 |
|
8 |
21 |
2.758924176 |
13.52240544 |
|
9 |
34 |
3.239611801 |
16.76201724 |
|
10 |
55 |
3.802952461 |
20.56496970 |
|
11 |
89 |
4.464745096 |
25.02971480 |
|
12 |
144 |
5.241482788 |
30.27119759 |
|
13 |
233 |
6.153449494 |
36.42464708 |
|
14 |
377 |
7.224045124 |
43.64869220 |
|
15 |
610 |
8.480926088 |
52.12961829 |
|
16 |
987 |
9.956477521 |
62.08609581 |
|
17 |
1597 |
11.68875633 |
73.77485214 |
|
18 |
2584 |
13.72242407 |
87.49727621 |
|
19 |
4181 |
16.10992020 |
103.6071964 |
|
20 |
6765 |
18.91280451 |
122.5200009 |
Tab. 1: Daten
3 Der Fibonacci-Turm
Die Abbildung 1 zeigt den Fibonacci-Turm bis n = 6.
Abb. 1: Fibonacci-Turm bis n = 6
4 Verdrehter Turm
Nun lassen wir den untersten Würfel fest und drehen die oberen Würfel bis die jeweils unteren Würfelecken auf die Oberkante des darunterliegenden Würfels treffen (Abb. 2). Der oberste Würfel ist gleich groß wie der zweitoberste und kann daher nicht verdreht werden.
Abb. 2: Verdrehter Turm
Die Abbildung 3 zeigt den Drehprozess.
Abb. 3: Drehprozess
Websites
Thomas Jahre: Chemnitzer Schulmodell