Hans Walser, [20100316b]

Fibonacci p-adisch

Anregung: A. W., L.

1 Idee

Die Fibonacci-Folge wird in einem p-adischen Zahlensystem dargestellt.

Die Folgen der letzen, zweitletzten, drittletzten ... Ziffern sind periodisch.

Aus einer Periode wird die Multiplikationstabelle modulo p dargestellt und mit p verschiedenen Farben codiert und im Quadratraster visualisiert.

2 Dualsystem

Wir arbeiten mit . Die Tabelle zeigt die Fibonacci-Folge im Dezimalsystem und im Dualsystem sowie als Koeffizienten von in der Dualentwicklung.


1	1	1	0	0	0	1
2	1	1	0	0	0	1
3	2	10	0	0	1	0
4	3	11	0	0	1	1
5	5	101	0	1	0	1
6	8	1000	1	0	0	0
7	13	1101	1	1	0	1
8	21	10101	0	1	0	1
9	34	100010	0	0	1	0
10	55	110111	0	1	1	1
11	89	1011001	1	0	0	1
12	144	10010000	0	0	0	0
13	233	11101001	1	0	0	1
14	377	101111001	1	0	0	1
15	610	1001100010	0	0	1	0
16	987	1111011011	1	0	1	1
17	1597	11000111101	1	1	0	1
18	2584	101000011000	1	0	0	0
19	4181	1000001010101	0	1	0	1
20	6765	1101001101101	1	1	0	1
21	10946	10101011000010	0	0	1	0
22	17711	100010100101111	1	1	1	1
23	28657	110111111110001	0	0	0	1
24	46368	1011010100100000	0	0	0	0

Für die Periodenlängen gilt:

Vermutlich hat die Folge die Periodenlänge .

2.0 Letzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 3 und die recht biedere Multiplikationstabelle modulo 2:

Multiplikationstabelle

----------------------

* | 110

-------

1 | 110

0 | 000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz und 1 = rot ergibt sich mit einer und mit vier Perioden:

Farbcodierung

2.1 Zweitletzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 6 und die Multiplikationstabelle modulo 2:

Multiplikationstabelle

----------------------

* | 001100

----------

0 | 000000

1 | 001100

0 | 000000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz und 1 = rot ergibt sich mit einer und mit vier Perioden:

Farbcodierung

2.2 Drittletzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 12:

Multiplikationstabelle

----------------------

* | 000010110100

----------------

0 | 000000000000

1 | 000010110100

0 | 000000000000

1 | 000010110100

0 | 000000000000

1 | 000010110100

0 | 000000000000

Farbcodierung

2.3 Viertletzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 24:

Multiplikationstabelle

----------------------

* | 000001100010110111010100

----------------------------

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

1 | 000001100010110111010100

0 | 000000000000000000000000

Farbcodierung, eine Periode

3 Basis 3

Wir arbeiten mit . Die Tabelle zeigt die Fibonacci-Folge im Dreiersystem sowie als Koeffizienten von in der Dreierentwicklung.


1	1	0	0	1
2	1	0	0	1
3	2	0	0	2
4	10	0	1	0
5	12	0	1	2
6	22	0	2	2
7	111	1	1	1
8	210	2	1	0
9	1021	0	2	1
10	2001	0	0	1
11	10022	0	2	2
12	12100	1	0	0
13	22122	1	2	2
14	111222	2	2	2
15	211121	1	2	1
16	1100120	1	2	0
17	2012011	0	1	1
18	10112201	2	0	1
19	12201212	2	1	2
20	100021120	1	2	0
21	120000102	1	0	2
22	220021222	2	2	2
23	1110022101	1	0	1
24	2100121100	1	0	0
25	10210220201	2	0	1
26	20011112001	0	0	1
27	100222102202	2	0	2
28	121010221210	2	1	0
29	222010101112	1	1	2
30	1120021100022	0	2	2
31	2112101201211	2	1	1
32	11002200002010	0	1	0
33	20122001210221	2	2	1
34	101201201220001	0	0	1
35	122100210200222	2	2	2
36	1001002112121000	0	0	0
37	1200110100021222	2	2	2
38	2201112212212222	2	2	2
39	11102000020011221	2	2	1
40	21010120010001220	2	2	0
41	102112120100020211	2	1	1
42	200200010110022201	2	0	1
43	1010012200210120112	1	1	2
44	1210212211020220020	0	2	0
45	2221002112001110202	2	0	2
46	11201222100022100222	2	2	2
47	21200001212100211201	2	0	1
48	110102001012200012200	2	0	0
49	202002010002001001101	1	0	1
50	1012111011021201021001	0	0	1
51	1221120021100202022102	1	0	2
52	10011001102122110120110	1	1	0
53	12002121201000012212212	2	1	2
54	22020200010122200110022	0	2	2
55	111100021211122220100011	0	1	1
56	210120221222022120210110	1	1	0
57	1021221020210222111010121	1	2	1
58	2002112012210022001221001	0	0	1
59	10101110110121021120001122	1	2	2
60	12110222200101120121222200	2	0	0
61	22212110010222212012001022	0	2	2
62	112100102211101102211000222	2	2	2
63	212012212222101022000002021	0	2	1
64	1101120022210202201211010020	0	2	0
65	2020210012210011000211012111	1	1	1
66	10122100112120220202122022201	2	0	1
67	12220010202101001210110112012	0	1	2
68	100112111021221222120002211220	2	2	0
69	120102122001100001100120101002	0	0	2
70	220222010100022000220200012222	2	2	2
71	1111101202101122002021020121001	0	0	1
72	2102100212201221010011220211000	0	0	0

Für die Periodenlängen gilt:

Vermutlich hat die Folge die Periodenlänge .

3.0 Letzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 8 und die Multiplikationstabelle modulo 3:

Multiplikationstabelle

----------------------

* | 11202210

------------

1 | 11202210

2 | 22101120

0 | 00000000

2 | 22101120

1 | 11202210

0 | 00000000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz, 1 = rot und 2 = grün ergibt sich mit einer und mit vier Perioden:

Farbcodierung

3.1 Zweitletzte Stelle

Nun sei . Wir haben die Periodenlänge 24.

p = 3, j = 1, eine Periode

3.2 Drittletzte Stelle

Periodenlänge 72.

p = 3, j = 2, eine Periode

4 Basis 4


1	1	0	0	1
2	1	0	0	1
3	2	0	0	2
4	3	0	0	3
5	11	0	1	1
6	20	0	2	0
7	31	0	3	1
8	111	1	1	1
9	202	2	0	2
10	313	3	1	3
11	1121	1	2	1
12	2100	1	0	0
13	3221	2	2	1
14	11321	3	2	1
15	21202	2	0	2
16	33123	1	2	3
17	120331	3	3	1
18	220120	1	2	0
19	1001111	1	1	1
20	1221231	2	3	1
21	2223002	0	0	2
22	10110233	2	3	3
23	12333301	3	0	1
24	23110200	2	0	0
25	102110101	1	0	1
26	131220301	3	0	1
27	233331002	0	0	2
28	1031211303	3	0	3
29	1331202311	3	1	1
30	3023020220	2	2	0
31	11020223131	1	3	1
32	20103310011	0	1	1
33	31130133202	2	0	2
34	111300103213	2	1	3
35	203030303021	0	2	1
36	320331012300	3	0	0
37	1130021321321	3	2	1
38	2111013000221	2	2	1
39	3301100322202	2	0	2
40	12012113323023	0	2	3
41	21313220311231	2	3	1
42	33332000300320	3	2	0
43	121311221212211	2	1	1
44	221303222113131	1	3	1
45	1003221103332002	0	0	2
46	1231130332111133	1	3	3
47	2301012102103201	2	0	1
48	10132203100221000	0	0	0
49	13033221202330201	2	0	1
50	23232030303211201	2	0	1
51	102331312112202002	0	0	2
52	132230003022013203	2	0	3
53	301221321200221211	2	1	1
54	1100111330222301020	0	2	0
55	2001333312023122231	2	3	1
56	3102111302312023311	3	1	1
57	11110111221001212202	2	0	2
58	20212223123313302113	1	1	3
59	31323001010321120321	3	2	1
60	112201230200301023100	1	0	0
61	210130231211222210021	0	2	1
62	322332122012123233121	1	2	1
63	1133123013230012103202	2	0	2
64	2122121201302202002323	3	2	3
65	3321310221132220112131	1	3	1
66	12110032023101022121120	1	2	0
67	22032002310233302233311	3	1	1
68	100202101000000331021031	0	3	1
69	122300103310300233321002	0	0	2
70	223102210310301231002033	0	3	3
71	1012002320221202130323101	1	0	1
72	1301111131132110021331200	2	0	0
73	2313120112013312212320301	3	0	1
74	10220231303212022300312101	1	0	1
75	13200012021232001113233002	0	0	2
76	30020303331110030020211103	1	0	3
77	103220322013002031200110111	1	1	1
78	133301232010112121220321220	2	2	0
79	303122220023120213021031331	3	3	1
80	1103030112033233000302013211	2	1	1
81	2012212332123013213323111202	2	0	2
82	3121303110222312220231131013	0	1	3
83	11200122103011332100220302221	2	2	1
84	20322031213300310321112033300	3	0	0
85	32122213322312303021333002121	1	2	1
86	113110311202213220003111102021	0	2	1
87	211233131131132123031110110202	2	0	2
88	331010103000012003100221212223	2	2	3
89	1202303300131210132131331323031	0	3	1
90	2133320003131222201232213201320	3	2	0
91	10002223303323033000030211131011	0	1	1
92	12202203313120321201323030332331	3	3	1
93	22211033223110020202013302130002	0	0	2
94	101013303202231002010002333122333	3	3	3
95	123231003032001022212022301313001	0	0	1
96	230310312300232030222031301102000	0	0	0