Hans Walser, [20090411a]

Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen

Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen.

1 Fibonacci und Kreisfunktionen

1.1 Einstiegsbeispiel

Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion

und den Startwerten und . Excel liefert für die ersten 50 Folgenglieder:

n	a_n	n	a_n	n	a_n
0	1	17	0.633554136	34	-0.197218313
1	0.95	18	0.843463666	35	0.118759788
2	0.805	19	0.969026829	36	0.422861911
3	0.5795	20	0.997687309	37	0.684677842
4	0.29605	21	0.926579058	38	0.878025989
5	-0.017005	22	0.762812901	39	0.983571538
6	-0.3283595	23	0.522765455	40	0.990759932
7	-0.60687805	24	0.230441462	41	0.898872333
8	-0.824708795	25	-0.084926676	42	0.717097501
9	-0.960068661	26	-0.391802147	43	0.463612919
10	-0.999421660	27	-0.659497403	44	0.163767045
11	-0.938832493	28	-0.861242919	45	-0.152455534
12	-0.784360078	29	-0.976864143	46	-0.453432559
13	-0.551451654	30	-0.994798953	47	-0.709066328
14	-0.263398065	31	-0.913253867	48	-0.893793465
15	0.050995331	32	-0.740383395	49	-0.989141255
16	0.360289193	33	-0.493474583	50	-0.985574919

Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Kosinuskurve erkennen:

Diagramm. Kosinuskurve

1.2 Rekursion und Startwerte

Wir untersuchen Folgen mit der Rekursion:

Mit den Startwerten und ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Kosinuskurve liegen. Mit derselben Rekursion, aber den Startwerten und ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Sinuskurve liegen.

Beispiel: . Startwerte und .

n	a_n	n	a_n	n	a_n
0	0	17	-0.773698363	34	-0.980359596
1	0.3122499	18	-0.537186229	35	-0.992923014
2	0.59327481	19	-0.246955472	36	-0.906194132
3	0.814972239	20	0.067970832	37	-0.728845836
4	0.955172444	21	0.376100052	38	-0.478612956
5	0.999855405	22	0.646619268	39	-0.180518781
6	0.944552825	23	0.852476557	40	0.135627272
7	0.794794963	24	0.973086190	41	0.438210598
8	0.565557604	25	0.996387204	42	0.696972864
9	0.279764485	26	0.920049497	43	0.886037844
10	-0.034005082	27	0.751706841	44	0.986499040
11	-0.344374141	28	0.508193501	45	0.988310331
12	-0.620305787	29	0.213860811	46	0.891290589
13	-0.834206853	30	-0.101857960	47	0.705141789
14	-0.964687234	31	-0.407390936	48	0.448478809
15	-0.998698892	32	-0.672184818	49	0.146967949
16	-0.932840660	33	-0.869760218	50	-0.169239706

Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Sinuskurve erkennen:

Diagramm. Sinuskurve

1.3 Beweis

Wir untersuchen den Fall mit den Startwerten und , und setzen . Wir haben also die Rekursion

und die Startwerte sowie .

Dann gilt:

Beweis induktiv. Die Startwerte erfüllen die Behauptung. Weiter ist:

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Im Fall mit den Startwerten und setzen wir wieder . Wir haben also dieselbe Rekursion

und die Startwerte sowie . Dann gilt:

Der Beweis läuft analog.

1.4 Periodenlänge

Für die Periodenlänge T der so generierten Kreisfunktionen gilt:

In unserem Beispiel mit erhalten wir:

Aus den Diagrammen lesen wir eine Periodenlänge von etwa 20 ab.

1.5 Noch ein Beispiel

Wir verwenden einen negativen Wert für p. Startwerte und .

Beispiel:

n	a_n	n	a_n	n	a_n
0	1	17	0.741547963	34	0.099786763
1	-0.99	18	-0.828774555	35	-0.239152167
2	0.9602	19	0.899425656	36	0.373734526
3	-0.911196	20	-0.952088244	37	-0.500842196
4	0.84396808	21	0.985709066	38	0.617933021
5	-0.759860798	22	-0.999615708	39	-0.722665186
6	0.660556301	23	0.993530035	40	0.812944047
7	-0.548040677	24	-0.967573762	41	-0.886964027
8	0.424564240	25	0.922266013	42	0.943244727
9	-0.292596518	26	-0.858512944	43	-0.980660532
10	0.154776866	27	0.777589617	44	0.998463127
11	-0.013861676	28	-0.681114496	45	-0.996296459
12	-0.127330747	29	0.571017086	46	0.974203862
13	0.265976555	30	-0.449499335	47	-0.932627187
14	-0.399302832	31	0.318991596	48	0.872397969
15	0.524643053	32	-0.182104026	49	-0.794720792
16	-0.639490412	33	0.041574375	50	0.701149198

Das Diagramm sieht lustig aus:

Diagramm

Wir haben einen Flipflop-Effekt. Es ist aber immer noch . — Und nicht, wie der Schreiber dieses zuerst vermutete, .

Die Periodenlänge ist viel kürzer, als man denkt:

Wie ist das zu verstehen?

1.6 Andere Startwerte

Beispiel: , Startwerte und . Wir erhalten das Diagramm:

Diagramm

Wir haben eine Linearkombination einer Kosinusfunktion und einer Sinusfunktion.

2 p > 1

Bis jetzt war , und das war ja auch gut so, weil wir in unseren Überlegungen mit gearbeitet haben, was für nicht ginge. Allerdings können wir gleichwohl mit der Rekursion und den Startwerten und arbeiten.

2.1 Beispiel

Im Beispiel erhalten wir

n	a_n	n	a_n	n	a_n
0	1	6	1.381452339	12	2.816821131
1	1.01	7	1.530392924	13	3.218329769
2	1.0402	8	1.709941367	14	3.684205002
3	1.091204	9	1.923688637	15	4.223764334
4	1.16403208	10	2.175909680	16	4.847798954
5	1.260140802	11	2.471648916

mit dem Diagramm:

Diagramm

Das schmeckt sehr nach hyperbolischem Kosinus.

Tatsächlich gilt: mit wird .

Und mit den Startwerten und ergibt sich . Die Beweise laufen analog zu denen der Kreisfunktionen, wobei der Leser / die Leserin gut tut, vor dem Beweis die einschlägigen Formeln für die hyperbolischen Funktionen nachzusehen. — Wir haben damit ohne Würgen und Murksen einen Link von den Kreisfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.

2.2 p < –1

Im Beispiel erhalten wir

n	a_n	n	a_n	n	a_n
0	1	6	1.381452339	12	2.816821131
1	-1.01	7	-1.530392924	13	-3.218329769
2	1.0402	8	1.709941367	14	3.684205002
3	-1.091204	9	-1.923688637	15	-4.223764334
4	1.16403208	10	2.175909680	16	4.847798954
5	-1.260140802	11	-2.471648916