Hans Walser, [20250832]

Flächenanteile

1 Worum es geht

Exemplarisch wird gezeigt, dass von den Flächenanteilen im Parameterbereich einer Fläche nicht auf die Flächenanteile auf der Fläche geschlossen werden kann.

2 Vierteln der Kugeloberfläche

Wir arbeiten mit dem u,v-Parameterbereich der Abbildung 1. Die vier Flächenanteile sind gleich groß. Der rote Flächenanteil ist genau die Hälfte der Gesamtfläche.

Abb. 1: Parameterbereich

Mit den Abbildungsgleichungen für die Einheitskugel

erhalten wir die Kugeloberfläche der Abbildungen 2 und 3. Der rote Flächenanteil ist genau die Hälfte der Gesamtfläche.

Abb. 2: Vier Schnitze

Abb. 3: Vier gleich große Flächenanteile

3 Gegenbeispiel

3.1 Parameterbereich

Wir färben den Parameterbereich gemäß Abbildung 4. Der rote Flächenanteil ist genau die Hälfte der Gesamtfläche.

Abb. 4: Parameterbereich

3.2 Situation auf der Kugel

Die Abbildungen 5, 6 und 7 zeigen die Situation auf der Kugel. Wir vermuten, dass der rote Flächenanteil größer ist als der grüne.

Abb. 5: Rot-grün auf der Kugeloberfläche

Abb. 6: Sicht von vorne, von rechts und von oben

Abb. 7: Der rote Flächenanteil ist vermutlich größer als der grüne

Bemerkung: die rot-grüne Grenzlinie ist die sogenannte Vivianische Kurve.

3.3 Flächenberechnung

Wir berechnen einen Viertel eines roten Viereckes auf der Kugel gemäß Abbildung 8.

Abb. 8: Musterstück

Im Parameterbereich haben wir dazu die Situation der Abbildung 9.

Abb. 9: Parameterbereich

Bei den Abbildungsgleichungen

berechnet sich ein Flächeninhalt A nach der Formel:

In unserem Fall heißt dies:

Ein rotes Viereck auf der Oberfläche der Einheitskugel hat also den ganzzahligen Flächeninhalt 4 (ein bemerkenswertes Resultat). Der rote Flächenanteil an der Kugeloberfläche ist damit:

Der Anteil ist irrational und mehr als die Hälfte.