Hans Walser, [20250911]

Flächengleichheit

1 Worum es geht

Flächengleichheit in einem geschlossenen Polygon gerader Eckenzahl.

2 Konstruktion

In einem geschlossenen Polygon gerader Eckenzahl (Abb. 1 mit zehn Ecken) wählen wir einen beliebigen Punkt.

Abb. 1: Polygon und Punkt

Wir verbinden den Punkt mit den Mittelpunkten der Seiten des Polygons (blau in Abb. 2). Dadurch entstehen Vierecke gemäß der Eckenzahl des Polygons.

Abb. 2: Verbindungen mit den Seitenmitten

Die Vierecke färben wir im Wechsel hellblau und gelb (Abb. 3).

Abb. 3: Hellblaue und gelbe Vierecke

3 Flächengleichheit

Die Flächensumme der hellblauen Vierecke ist gleich der Flächensumme der gelben Vierecke.

4 Beweis

Wir verbinden den inneren Punkt mit den Ecken des Polygons. Dadurch wird jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegt. Zwei verschiedenfarbige benachbarte Dreiecke haben eine gleichlange Grundlinie (je die Hälfte einer Seite des Polygons) und die gleiche Höhe (Abb. 4). Sie sind also flächengleich.

Abb. 4: Beweisfigur

Wir können die Vierecke also so in Dreiecke zerlegen, dass es zu jedem hellblauen Teildreieck ein flächengleiches gelbes Teildreieck gibt. Damit ist die Flächengleichheit gezeigt.