1 Worum es geht

Rationale Flächenanteile im Kontext von Quadrat und Inkreis.

2 Konstruktion

In einem Quadrat zeichnen wir den Inkreis und eine Diagonale (Abb. 1).

Abb. 1: Quadrat mit Inkreis und Diagonale

Mit Hilfe eines der beiden Schnittpunkte der Diagonale mit dem Inkreis zeichnen wir in das Quadrat zwei weitere Quadrate (gelb und magenta in Abb. 2).

Abb. 2: Zwei weitere Quadrate

3 Problemstellung

Welcher Flächenanteil des Startquadrates wird durch die beiden weiteren Quadrate abgedeckt?

4 Rechnerische Lösung

Wir passen ein kartesisches Koordinatensystem ein so dass der Inkreis zum Einheitskreis wird. Das Startquadrat hat dann die Seitenlänge 2 und den Flächeninhalt 4.

Für das gelbe Quadrat ergibt sich die Seitenlänge 1 + ½√2 und damit der Flächeninhalt 1 + √2 + ½ .

Für das magenta Quadrat ergibt sich die Seitenlänge 1 – ½√2 und damit der Flächeninhalt 1 – √2 + ½ .

Die Flächensumme der beiden Quadrate ist 3. Dies sind ¾ des Flächeninhaltes des Startquadrates.

Der Autor war überrascht durch die Rationalität des Ergebnisses. Wegen dem Auftreten von √2 in der Rechnung hat er ein irrationales Flächenverhältnis erwartet.

5 Gemeinsame Zerlegung

Die Abbildung 3 gibt eine gemeinsame Zerlegung als Illustration des Sachverhaltes.

Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung

6 Variante

Das hellblaue Rechteck (Abb. 4) deckt einen Achtel des Flächeninhaltes des Startquadrates.

Abb. 4: Variante

Die Abbildung 5 zeigt eine gemeinsame Zerlegung dazu.

Abb. 5: Gemeinsame Zerlegung