Hans Walser, [20251128]

Flächengleichheit

Anregung: Sebastian Bauer, Karlsruhe

1 Worum es geht

Zu einem rechtwinkligen Dreieck wird mit Hilfe von Kegelschnitten (Ellipsen und Hyperbeln) ein flächengleiches Rechteck konstruiert.

2 Koordinatensystem

Zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck ABC (gelb in den Abbildungen) mit dem rechten Winkel an der Ecke C wird ein kartesisches Koordinatensystem so eingepasst, dass A(–1, 0) und B(1, 0). Der Thaleskreis ist dann der Einheitskreis. Maßangaben werden auf zwei Dezimalstellen gerundet angegeben.

3 Konstruktion mit einer Ellipse

3.1 Vorgehen

Wir zeichnen eine Ellipse mit den beiden Brennpunkten A und B durch die Ecke C (rot in Abb. 1) und markieren die beiden spitzen Scheitel. Die Konstruktion des hellblauen Rechtecks ergibt sich aus der Abbildung 1.

Abb. 1: Konstruktion mit einer Ellipse

In der Abbildung 2 wird die Position der Ecke C auf dem Thaleskreis variiert.

Abb. 2: Kinematik

3.2 Beweis

Mit den üblichen Bezeichnungen für das rechtwinklige Dreieck (Katheten a und b, Hypotenuse c) ist die lange Ellipsenhalbachse ½ (a + b) und die halbe Brennpunktweite ½ c (in unserer Wahl des Koordinatensystems ist sogar ½ c = 1, spielt aber im Folgenden keine Rolle).

Das hellblaue Rechteck hat daher die Seiten:

½ (a + b) + ½ c und ½ (a + b) – ½ c

Für den Flächeninhalt des hellblauen Rechtecks ergibt sich daher:

(½ (a + b) + ½ c) (½ (a + b) – ½ c) = ¼ ((a + b)² – c²) = ¼ (a² + 2ab + b² – c²)

Wegen a² ₊ b² = c² (Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck) bleibt für den Flächeninhalt des hellblauen Rechtecks:

¼ (2ab) = ½ ab

Dies ist aber der Flächeninhalt des gelben rechtwinkligen Dreiecks.

3.3 Diskussion

Die Konstruktion ist auf einen der beiden Brennpunkte der Ellipse (B) fokussiert und daher strukturell asymmetrisch.

Ich habe keine symmetrische Konstruktion mit nur einer Ellipse gefunden.

Kleiner Trost: Auch bei Kepler laufen die Planenten auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Was ist im anderen Brennpunkt?

4 Konstruktion mit zwei Ellipsen

4.1 Vorgehen

Wir zeichnen eine erste Ellipse mit den Brennpunkten B und C durch A (rot in Abb. 3.1) und markieren den spitzen Scheitel auf der Seite von C.

Abb. 3.1: Erste Ellipse

Nun zeichnen wir eine zweite Ellipse mit den Brennpunkten A und C durch B (blau in Abb. 3.2) und markieren ebenfalls den spitzen Scheitel auf der Seite von C.

Abb. 3.2: Zweite Ellipse

Wir ergänzen die Ecke C und die beiden markierten Scheitelpunkte zum Rechteck (hellblau in Abb. 3.3).

Abb. 3.3: Ergänzung zum Rechteck

Das hellblaue Rechteck ist flächengleich zum gelben rechtwinkligen Dreieck (Abb. 4).

Abb. 4: Flächengleichheit

4.2 Diskussion

Das konstruktive Vorgehen ist symmetrisch bezüglich der Dreiecksecken A und B.

4.3 Bahnkurven

Der oberste Punkt des hellblauen Rechtecks bewegt sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt (0, 1) und dem Radius √2 (magenta in Abb. 5.1). Dieser Kreis ist der Umkreis des an der Hypotenuse nach oben gespiegelten Hypotenusen-Quadrates.

Abb. 5.1: Bahnkurve des obersten Punktes

Die Bahnkurven der markierten spitzen Scheitel der beiden Ellipsen (Abb. 5.2) erschließen sich mir nicht. Es sind keine Kreisbögen.

Abb. 5.2: Bahnkurven

5 Konstruktion mit einer Hyperbel

5.1 Vorgehen

Wir zeichnen eine Hyperbel mit den Brennpunkten A und B durch C (rot in Abb. 6). Die Hyperbel schneiden wir mit der Hypotenuse und konstruieren das hellblaue Rechteck gemäß der Abbildung 6.

Abb. 6: Hyperbel

Die hellblaue Rechteckfläche ist gleich der gelben Dreieckfläche (Abb. 7). Beweis rechnerisch.

Abb. 7: Flächengleichheit

5.2 Diskussion

Die Konstruktion ist asymmetrisch, kann aber symmetrisiert werden.

Eine erste Möglichkeit besteht darin, die Rechteckseiten parallel zu den Katheten zu gestalten (Abb. 8). Es sind auch die Bahnkurven der Eckpunkte des hellblauen Rechteckes eingetragen.

Abb. 8: Symmetrische Darstellung

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Seiten des hellblauen Rechtecks mit den Steigungswinkeln ±45° zu zeichnen (Abb. 9).

Abb. 9: Symmetrische Darstellung mit 45°-Winkeln

Die Bahnkurven der Ecken des hellblauen Rechtecks sind gerade und bilden ein gleichschenkliges Trapez. Die unteren beiden Eckpunkte des Bahnkurven-Trapezes haben die Koordinaten (±(√2 – 1), –√2). Das Bahnkurven-Trapez hat den Flächeninhalt 2. Dies kann im axialsymmetrischen Fall durch Zerlegung illustriert werden (Abb. 10).

Abb. 10: Zerlegung des Bahnkurven-Trapezes

6 Konstruktion mit zwei Hyperbeln

6.1 Vorgehen

Wir zeichnen eine Hyperbel mit den Brennpunkten B und C durch A (Abb. 11.1) und markieren den Schnittpunkt mit der Kathete a.

Abb. 11.1: Erste Hyperbel

Dann zeichnen wir eine zweite Hyperbel mit den Brennpunkten A und C durch den Punkt B (Abb. 11.2) und markieren den Schnittpunkt mit der Kathete b.

Abb. 11.2: Zweite Hyperbel

Nun passen wir das hellblaue Rechteck ein (Abb. 11.3).

Abb. 11.3: Hellblaues Rechteck

Das hellblaue Rechteck und das gelbe Dreieck sind flächengleich (Abb. 12).

Abb. 12: Flächengleichheit

In der Abbildung 13 sind auch noch die Bahnkurven der Ecken des hellblauen Rechtecks eingetragen. Eine Bahnkurve ist der Umkreis des Hypotenusen-Quadrates. Eine weitere Bahnkurve ist der Thaleskreis des gelben Dreiecks (untere Hälfte). Die beiden Schnörkel verstehe ich nicht.

Abb. 13: Bahnkurven

Weblinks

Hans Walser: Das unbekannte rechtwinklige Dreieck (Vortrag)

https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20251127/index.html