1 Worum es geht

Beispiel einer invarianten Dreiecksfläche

2 Konstruktion

Wir beginnen mit der Figur der Abbildung 1. Auf dem Kreis haben wir einen laufenden Punkt.

Abb. 1: Startfigur

Wir ergänzen den obersten Kreispunkt und den laufenden Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck. Der rechte Winkel ist beim obersten Kreispunkt. Die dritte Ecke des rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der senkrechten Geraden (Abb. 2).

Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck

3 Flächeninvarianz

Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks bleibt bei der Kinematik invariant.

4 Beweis

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 3.

Abb. 3: Bezeichnungen

Die Kathete AC des Dreiecks hat die Länge 2r cos(ϕ), die Kathete BC die Länge p/cos(ϕ). Das rechtwinklige Dreieck hat daher den Flächeninhalt rp, unabhängig von ϕ. Dies war zu zeigen.

5 Verallgemeinerung

Wir können die beiden rot markierten rechten Winkel durch einen beliebigen anderen Winkel ersetzen (Abb. 4).

Abb. 4: Verallgemeinerung

Die Flächeninvarianz des Dreieckes bleibt erhalten.

Der Beweis geht analog wie im orthogonalen Fall. Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 5.

Abb. 5: Bezeichnungen

Mit p bezeichnen wir den Abstand der Dreiecksecke C von der nun schrägen Geraden g. Der Kreisradius sei r. Den roten Winkel bezeichnen wir mit ψ.

Die Seite AC des Dreiecks hat die Länge 2r cos(ϕ), die Seite BC die Länge p/cos(ϕ). Das Dreieck hat daher den Flächeninhalt rp sin(ψ), unabhängig von ϕ. Dies war zu zeigen.