Hans Walser, [20200116]
FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Polyedern
Einheitliche Formel zur Berechnung des FlŠchenwinkels bei regelmŠ§igen Polyedern. Herleitung mit sphŠrischer Trigonometrie.
Die SeitenflŠchen des Polyeders sind regelmŠ§ige n-Ecke.
An jeder Polyederecke kommen k SeitenflŠchen zusammen.
Beispiel Ikosaeder: n = 3, k = 5. An jeder Ecke kommen 5 Dreiecke zusammen.
Wir schneiden eine Polyederecke mit einer Einheitskugel, welche ihr Zentrum in der Polyederecke hat.
Wir illustrieren das Vorgehen zunŠchst am Tetraeder (Abb. 1.1).
Abb. 1.1: Tetraeder
An den Ecken des Tetraeders setzen wir blaue Kugeln mit dem Radius 1 an (Abb. 1.2). Es wŸrde genŸgen, an einer einzigen Tetraederecke eine blaue Kugel anzusetzen,
Abb. 1.2: Kugeln
Nun nehmen wir die Schnittfiguren des Tetraeders mit den Kugeln (Abb. 1.3).
Abb. 1.3: Schnittfiguren
Wir erhalten blaue sphŠrische Dreiecke (Abb. 1.4). Die gleichseitigen Seitendreiecke des Tetraeders haben Winkel von 60¡ und ergeben daher fŸr die blauen sphŠrischen Dreiecke eine SeitenlŠnge von . Dies ist das zu 60¡ gehšrende Bogenma§; die blauen Kugeln haben ja den Radius 1. Der in der Abbildung 1.4b eingezeichnete Winkel ist der gesuchte FlŠchenwinkel des Tetraeders. Dies ist darum so, weil die Kreisbšgen der roten Sektoren rechtwinklig auf die Tetraederkanten auftreffen.
Abb. 1.4: SphŠrisches Dreieck
Im allgemeinen Fall schneidet jede der k SeitenflŠchen des Polyeders aus der Kugel einen Sektor heraus. Das ergibt einen Kugelsektor (Abb. 2 fŸr k = 5) und auf der Kugel ein regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck.
Abb. 2: Kugelsektor und regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck
Da die SeitenflŠchen des Polyeders regelmŠ§ige n-Ecke sind, haben sie einen Innenwinkel . Dies ist auch die SeitenlŠnge des regelmŠ§igen sphŠrischen k-Ecks.
In der Abbildung 2 sind auch noch der Mittelpunkt des sphŠrischen k-Ecks und die Speichen eingezeichnet. Wegen der RegelmŠ§igkeit ergeben sich dort Winkel .
Die Abbildung 3a zeigt die Situation von oben.
Abb. 3: Sicht von oben
Im Prinzip kšnnte man im einem der in der Abbildung 3a eingezeichneten Dreiecke mit dem Winkel-Kosinus-Satz weiterarbeiten. Es ist aber einfacher, den Symmetriebogen einzuzeichnen (Abb. 3b). So erhalten wir ein rechtwinkliges sphŠrisches Dreieck ABC.
Wir verwenden auch hier den Winkel-Kosinus-Satz. Dieser lautet allgemein:
(1)
In unserem Fall spielt die Rolle von . Weiter ist und . Schlie§lich ist . Damit erhalten wir aus (1):
(2)
Daraus ergibt sich die Superformel:
(3)
Die Tabelle 1 gibt die numerischen Werte [¡].
n |
k |
FlŠchenwinkel
[¡] |
Bemerkung |
3 |
2 |
0 |
DreiecktŸte |
3 |
3 |
70.52877936 |
Tetraeder |
3 |
4 |
109.4712206 |
Oktaeder |
3 |
5 |
138.1896852 |
Ikosaeder |
3 |
6 |
180 |
Dreiecksraster |
3 |
7 |
180–
32.44409656i |
komplex |
4 |
2 |
0 |
VierecktŸte |
4 |
3 |
90 |
Hexaeder
(WŸrfel) |
4 |
4 |
180 |
Quadratraster |
4 |
5 |
180 –
60.80658181i |
komplex |
4 |
6 |
180 –
75.45612938i |
komplex |
4 |
7 |
180 –
83.02586576i |
komplex |
5 |
2 |
0 |
FŸnfecktŸte |
5 |
3 |
116.5650511 |
Dodekaeder |
5 |
4 |
180 –
71.83397196i |
komplex |
5 |
5 |
180 –
96.54133507i |
komplex |
5 |
6 |
180 –
107.5114763i |
komplex |
5 |
7 |
180 –
113.5852555i |
komplex |
6 |
2 |
0 |
SechsecktŸte |
6 |
3 |
180 |
Bienenwabenmuster |
6 |
4 |
180 –
100.9979734i |
komplex |
6 |
5 |
180 –
121.6131639i |
komplex |
6 |
6 |
180 –
131.3466595i |
komplex |
6 |
7 |
180 –
136.8457473i |
komplex |
7 |
2 |
0 |
SiebenecktŸte |
7 |
3 |
180 –
62.48389295i |
komplex |
7 |
4 |
180 –
122.6593618i |
komplex |
7 |
5 |
180 –
141.5196510i |
komplex |
7 |
6 |
180 –
150.6462673i |
komplex |
7 |
7 |
180 –
155.8504617i |
komplex |
Tab. 1: FlŠchenwinkel
Websites
Hans Walser: FlŠchenwinkel
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel/Flaechenwinkel.htm
Hans Walser: SphŠrische Trigonometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_Trigo/Sphaer_Trigo.pdf
Hans Walser: Formeln fŸr die sphŠrische, euklidische und hyperbolische Geometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Formeln/Formeln.htm
Literatur
Walser, Hans (2017): EAGLE STARTHILFE Kartografie. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-95922-098-9.