Hans Walser, [20200116]

FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Polyedern

1     Worum geht es?

Einheitliche Formel zur Berechnung des FlŠchenwinkels bei regelmŠ§igen Polyedern. Herleitung mit sphŠrischer Trigonometrie.

2     Bezeichnungen

Die SeitenflŠchen des Polyeders sind regelmŠ§ige n-Ecke.

An jeder Polyederecke kommen k SeitenflŠchen zusammen.

Beispiel Ikosaeder: n = 3, k = 5. An jeder Ecke kommen 5 Dreiecke zusammen.

3     Vorgehen

Wir schneiden eine Polyederecke mit einer Einheitskugel, welche ihr Zentrum in der Polyederecke hat. 

3.1    Tetraeder

Wir illustrieren das Vorgehen zunŠchst am Tetraeder (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Tetraeder

An den Ecken des Tetraeders setzen wir blaue Kugeln mit dem Radius 1 an (Abb. 1.2). Es wŸrde genŸgen, an einer einzigen Tetraederecke eine blaue Kugel anzusetzen,

Abb. 1.2: Kugeln

Nun nehmen wir die Schnittfiguren des Tetraeders mit den Kugeln (Abb. 1.3).

Abb. 1.3: Schnittfiguren

Wir erhalten blaue sphŠrische Dreiecke (Abb. 1.4). Die gleichseitigen Seitendreiecke des Tetraeders haben Winkel von 60¡ und ergeben daher fŸr die blauen sphŠrischen Dreiecke eine SeitenlŠnge von . Dies ist das zu 60¡ gehšrende Bogenma§; die blauen Kugeln haben ja den Radius 1. Der in der Abbildung 1.4b eingezeichnete Winkel  ist der gesuchte FlŠchenwinkel des Tetraeders. Dies ist darum so, weil die Kreisbšgen der roten Sektoren rechtwinklig auf die Tetraederkanten auftreffen.

Abb. 1.4: SphŠrisches Dreieck

3.2    Allgemein

Im allgemeinen Fall schneidet jede der k SeitenflŠchen des Polyeders aus der Kugel einen Sektor heraus. Das ergibt einen Kugelsektor (Abb. 2 fŸr k = 5) und auf der Kugel ein regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck.

Abb. 2: Kugelsektor und regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck

Da die SeitenflŠchen des Polyeders regelmŠ§ige n-Ecke sind, haben sie einen Innenwinkel . Dies ist auch die SeitenlŠnge des regelmŠ§igen sphŠrischen k-Ecks.

In der Abbildung 2 sind auch noch der Mittelpunkt des sphŠrischen k-Ecks und die Speichen eingezeichnet. Wegen der RegelmŠ§igkeit ergeben sich dort Winkel .

Die Abbildung 3a zeigt die Situation von oben.

Abb. 3: Sicht von oben

Im Prinzip kšnnte man im einem der in der Abbildung 3a eingezeichneten Dreiecke mit dem Winkel-Kosinus-Satz weiterarbeiten. Es ist aber einfacher, den Symmetriebogen einzuzeichnen (Abb. 3b). So erhalten wir ein rechtwinkliges sphŠrisches Dreieck ABC.

Wir verwenden auch hier den Winkel-Kosinus-Satz. Dieser lautet allgemein:

 

                                           (1)

 

 

 

In unserem Fall spielt  die Rolle von . Weiter ist  und . Schlie§lich ist . Damit erhalten wir aus (1):

 

                                     (2)

 

 

 

 

Daraus ergibt sich die Superformel:

 

                                                                                                 (3)

 

 

 

 

4     †bersicht

Die Tabelle 1 gibt die numerischen Werte [¡].

 

n

k

FlŠchenwinkel [¡]

Bemerkung

3

2

0

DreiecktŸte

3

3

70.52877936

Tetraeder

3

4

109.4712206

Oktaeder

3

5

138.1896852

Ikosaeder

3

6

180

Dreiecksraster

3

7

180– 32.44409656i

komplex

4

2

0

VierecktŸte

4

3

90

Hexaeder (WŸrfel)

4

4

180

Quadratraster

4

5

180 – 60.80658181i

komplex

4

6

180 – 75.45612938i

komplex

4

7

180 – 83.02586576i

komplex

5

2

0

FŸnfecktŸte

5

3

116.5650511

Dodekaeder

5

4

180 – 71.83397196i

komplex

5

5

180 – 96.54133507i

komplex

5

6

180 – 107.5114763i

komplex

5

7

180 – 113.5852555i

komplex

6

2

0

SechsecktŸte

6

3

180

Bienenwabenmuster

6

4

180 – 100.9979734i

komplex

6

5

180 – 121.6131639i

komplex

6

6

180 – 131.3466595i

komplex

6

7

180 – 136.8457473i

komplex

7

2

0

SiebenecktŸte

7

3

180 – 62.48389295i

komplex

7

4

180 – 122.6593618i

komplex

7

5

180 – 141.5196510i

komplex

7

6

180 – 150.6462673i

komplex

7

7

180 – 155.8504617i

komplex

Tab. 1: FlŠchenwinkel

Websites

 

Hans Walser: FlŠchenwinkel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel/Flaechenwinkel.htm

 

Hans Walser: SphŠrische Trigonometrie

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_Trigo/Sphaer_Trigo.pdf

 

Hans Walser: Formeln fŸr die sphŠrische, euklidische und hyperbolische Geometrie

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Formeln/Formeln.htm

 

 

Literatur

Walser, Hans (2017): EAGLE STARTHILFE Kartografie. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-95922-098-9.