Hans Walser, [20110204a]

FlŠchenzerlegung

Ein Quadrat soll mit kongruenten rechtwinkligen Dreiecken gemŠ§ Abbildung so zerlegt werden, dass im Innern ein quadratisches Loch entsteht, das flŠchenmŠ§ig halb so gro§ ist wie das Ausgangsquadrat.

Zerlegung des Quadrates

Wie gro§ sind die spitzen Winkel der rechtwinkligen Dreiecke?

Bearbeitung

Bezeichnung gemŠ§ Abbildung.

Bezeichnungen

Es ist:

Daraus ergibt sich durch Elimination von b:

FŸr die positive Lšsung erhalten wir:

Daraus ergibt sich fŸr den Winkel :

Mein Taschenrechner gibt:

Das Resultat ist verdŠchtig. Kšnnte es 15¡ sein?

Wir kontrollieren mit dem guten alten Additionstheorem. Aus:

 

ergibt sich zunŠchst:

Damit erhalten wir:

Es ist also exakt  und damit  und .

Nun setzen wir die Quadrate neu zusammen gemŠ§ Abbildung:

Neue Zusammensetzung

Wie gro§ ist der FlŠcheninhalt des neuen Quadrates?

Das neue Quadrat hat die SeitenlŠnge . Mein Taschenrechner gibt fŸr die FlŠche . Schon wieder verdŠchtig. Diesmal lassen wir uns nicht lumpen. GemŠ§ der ursprŸnglichen Aufgabe sind die vier rechtwinkligen Dreiecke zusammen flŠchenmŠ§ig halb so gro§ wie das ursprŸngliche Quadrat, das in der neuen Position als wei§es Loch erscheint. Daher ist exakt .