Hans Walser, [20110204a]
FlŠchenzerlegung
Ein Quadrat soll mit kongruenten rechtwinkligen Dreiecken gemŠ§ Abbildung so zerlegt werden, dass im Innern ein quadratisches Loch entsteht, das flŠchenmŠ§ig halb so gro§ ist wie das Ausgangsquadrat.
Zerlegung des Quadrates
Wie gro§ sind die spitzen Winkel der rechtwinkligen Dreiecke?
Bearbeitung
Bezeichnung gemŠ§
Abbildung.
Bezeichnungen
Es ist:
Daraus ergibt sich
durch Elimination von b:
FŸr die positive Lšsung
erhalten wir:
Daraus ergibt sich fŸr
den Winkel :
Mein Taschenrechner
gibt:
Das Resultat ist
verdŠchtig. Kšnnte es 15¡ sein?
Wir kontrollieren mit
dem guten alten Additionstheorem. Aus:
ergibt sich zunŠchst:
Damit erhalten wir:
Es ist also exakt und damit und .
Nun setzen wir die
Quadrate neu zusammen gemŠ§ Abbildung:
Neue Zusammensetzung
Wie gro§ ist der
FlŠcheninhalt des neuen Quadrates?
Das neue Quadrat hat
die SeitenlŠnge . Mein Taschenrechner gibt fŸr die FlŠche . Schon wieder verdŠchtig. Diesmal lassen wir uns nicht
lumpen. GemŠ§ der ursprŸnglichen Aufgabe sind die vier rechtwinkligen Dreiecke
zusammen flŠchenmŠ§ig halb so gro§ wie das ursprŸngliche Quadrat, das in der
neuen Position als wei§es Loch erscheint. Daher ist exakt .