Hans Walser, [20250216]

Fliesenbeweis Pythagoras

Anregung: Roland Schröder, Eckernförde

1 Worum es geht

Kinematische Darstellung des klassischen Fliesenbeweises für den Satz des Pythagoras.

2 Fliesen

Wir legen einen Boden mit quadratischen Fliesen in zwei unterschiedlichen Größen aus (Abb. 1).

Abb. 1: Fliesenboden

Die Fliesengrößen können variiert werden (Abb. 2).

Abb. 2: Variation der Fliesengrößen

3 Überlagerung mit quadratischem Raster

Wir überlagern das Fliesenmuster mit einem schrägen quadratischen Raster (Ab. 3). Die Maschenweite des quadratischen Rasters ist gleich der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, welches die beiden Quadratseiten des Fliesenmusters als Katheten hat. Damit kommt das für den Satz des Pythagoras erforderliche rechtwinklige Dreieck ins Spiel.

Abb. 3: Überlagerung mit quadratischem Raster

Bei Variation der Fliesengrößen wir das Überlagerungsraster verdreht (Abb. 4).

Abb. 4: Verdrehen des Überlagerungsrasters

4 Zerlegung

Wir zerlegen die ursprünglichen quadratischen Fliesen gemäß dem Überlagerungsraster (Abb. 5). Wir haben nun fünf verschiedene Fliesentypen. Drei davon sind rechtwinklige Dreiecke (gelb, blau, zyan), die beiden restlichen (magenta und goldbraun) unregelmäßige Vierecke. Die gelben Dreiecke haben die Seiten der ursprünglichen quadratischen Fliesen als Katheten und die Maschenweite des Überlagerungsrasters als Hypotenuse.

Abb. 5: Zerlegung

Bei Variation der ursprünglichen Fliesengrößen verändern sich die Formen der fünf neuen Fliesentypen (Abb. 6).

Abb. 6: Variation

5 Flächenvergleich

Wir können je ein Exemplar der fünf neuen Fliesentypen zu je einem der beidem Quadrate der ursprünglichen Fliesen zusammenfassen (Abb. 7). Ebenso können wir je ein Exemplar der fünf neuen Fliesentypen zu einem Quadrat des Überlagerungsrasters zusammenfassen. Damit haben wir einen Zerlegungsbeweis für den Satz des Pythagoras für den partikulären Fall eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen der beiden ursprünglichen quadratische Fliesen. Dieses Dreieck ist in der Abbildung 7 gelb eingefärbt.

Abb. 7: Kathetenquadrate und Hypotenusenquadrat

Durch Variation wird der Satz allgemeingültig (Abb. 8).

Abb. 8: Variation

Literatur

Schröder, Roland (2025): Schulmathematik Wie sie ist und wie sie sein könnte. Edition Winterwork. Borsdorf. ISBN 978-3-98913-159-0.