Hans Walser, [20160428]

Flossen

1     Worum es geht

Nach Ansetzen von Quadraten an ein Polygon ergeben sich Zwischenfiguren (Dreiecke oder Vierecke, ãFlossenÒ). Bei beliebigen Dreiecken, beliebigen Vierecken und punktsymmetrischen Sechsecken ergeben sich ganzzahlige FlŠchenverhŠltnisse. Die Zahlen sind mit den Fibonacci-Zahlen verwandt.

Beweise fehlen.

2     Dreieck als Basis

Einem Dreieck setzen wir Quadrate an und fŸllen die ZwischenrŠume mit roten Dreiecken (Abb. 1) (vgl. [1], [2] ).

Abb. 1: Dreieck als Basis. Erste Runde

Anschlie§end setzen wir den roten Au§enkanten Quadrate an und fŸllen die ZwischenrŠume mit roten blauen Vierecken (Abb. 2). So erhalten wir die zweite Runde.

Abb. 2: Zweite Runde (blau)

Nun fahren wir entsprechend weiter und erhalten die dritte Runde (grŸn in Abb. 3).

Abb. 3: Dritte Runde grŸn

Und noch die vierte Runde (Abb. 4).

Abb. 4: Vierte Runde orange

Nun gilt folgendes.

Die Dreiecke und Vierecke gleicher Farbe sind flŠchenmŠ§ig je gleich gro§.

In der Tabelle 1 werden die FlŠchenverhŠltnisse der drei Figuren einer Farbe im VerhŠltnis zum FlŠcheninhalt des schwarzen Ausgangsdreieckes aufgelistet. Der FlŠcheninhalt des schwarzen Ausgangsdreieckes ist also die Ma§einheit fŸr die FlŠchenmessung.

 

Nummer

1

2

3

4

Farbe

rot

blau

grŸn

orange

FlŠche

3

15

72

345

 

Tab. 1: FlŠchenverhŠltnisse

FŸr die Folge fn der FlŠchen gilt die Rekursion

 

                                                                                                             (1)

 

und die explizite Formel:

 

                                                                                 (2)

 

Die Tabelle 2 gibt die ersten 20 Werte von fn. Vgl. https://oeis.org/A004254 und [5]. Wegen (2) wachsen die Werte im Wesentlichen exponentiell.

 

n

fn

 

n

fn

1

3

 

11

19997997

2

15

 

12

95816160

3

72

 

13

459082803

4

345

 

14

2199597855

5

1653

 

15

10538906472

6

7920

 

16

50494934505

7

37947

 

17

241935766053

8

181815

 

18

1159183895760

9

871128

 

19

5553983712747

10

4173825

 

20

26610734667975

Tab. 2: Werte

Mit den Koeffizienten der Rekursionsformel (1) basteln wir ein Polynom:

 

                                                                                   (3)

 

Nun machen wir eine Taylor-Entwicklung des Terms

 

                                                                                                          (4)

 

an der Stelle x = 0 und erhalten:

 

                     (5)

 

Die Koeffizienten sind die Werte unserer Folge.

 

3     Viereck als Basis

Die Abbildung 5 zeigt die analoge Figur mit einem beliebigen Viereck als Startfigur.

Im Unterschied zum Dreiecksfall sind die Vielecke gleicher Farbe nicht mehr flŠchengleich.

Abb. 5: Viereck als Startfigur

In der Tabelle 3 werden die FlŠchenverhŠltnisse der vier Figuren einer Farbe im VerhŠltnis zum FlŠcheninhalt des schwarzen Ausgangsviereckes aufgelistet. Der FlŠcheninhalt des schwarzen Ausgangsviereckes ist also die Ma§einheit fŸr die FlŠchenmessung.

 

Nummer

1

2

3

4

5

Farbe

rot

blau

grŸn

orange

magenta

FlŠche

2

8

30

112

418

Tab. 3: FlŠchenverhŠltnisse

FŸr die Folge fn der FlŠchen gilt die Rekursion

 

 

                                                                                                             (6)

 

und die explizite Formel:

 

                                                                                 (7)

 

Die Tabelle 4 gibt die ersten 20 Werte von fn. Vgl. https://oeis.org/A052530. Wegen (7) wachsen die Werte im Wesentlichen exponentiell.

 

n

fn

 

n

fn

1

2

 

11

1129438

2

8

 

12

4215120

3

30

 

13

15731042

4

112

 

14

58709048

5

418

 

15

219105150

6

1560

 

16

817711552

7

5822

 

17

3051741058

8

21728

 

18

11389252680

9

81090

 

19

42505269662

10

302632

 

20

158631825968

Tab. 4: Werte

Taylor:

 

                           (8)

 

FŸr den Sonderfall eines Parallelogramms vergleiche [3].

 

4     Punktsymmetrisches Sechseck als Basis

Die Abbildung 6 zeigt die analoge Figur mit einem beliebigen punktsymmetrischen Sechseck als Startfigur (vgl. [4]).

Abb. 6: Punktsymmetrisches Sechseck als Startfigur

In der Tabelle 5 werden die FlŠchenverhŠltnisse der sechs Figuren einer Farbe im VerhŠltnis zum FlŠcheninhalt des schwarzen Ausgangssechseckes aufgelistet..

 

Nummer

1

2

3

4

Farbe

rot

blau

grŸn

orange

FlŠche

1

3

8

21

Tab. 5: FlŠchenverhŠltnisse

FŸr die Folge fn der FlŠchen gilt die Rekursion

 

                                                                                                             (9)

 

und die explizite Formel:

 

                                                                                     (9)

 

Die Tabelle 4 gibt die ersten 20 Werte von fn. Es handelt sich um jedes zweite Folgenglied der Fibonacci-Folge (Walser 2012). Wer hŠtte das gedacht.

 

n

fn

 

n

fn

1

1

 

11

17711

2

3

 

12

46368

3

8

 

13

121393

4

21

 

14

317811

5

55

 

15

832040

6

144

 

16

2178309

7

377

 

17

5702887

8

987

 

18

14930352

9

2584

 

19

39088169

10

6765

 

20

102334155

Tab. 6: Fibonacci-Auswahl

Taylor:

 

                                     (10)

 

Literatur

Deshpande, M. N. (2009): Proof Without Words: Beyond Extriangles. MATHEMATICS MAGAZINE. Vol. 82, No. 3, June 2009, p. 208.

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

 

Websites

Abgerufen 27. April 2016

[1]   http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Puzzle_2/Puzzle_2.htm

[2]   http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Puzzle_4/Puzzle_4.htm

[3]   http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Puzzle/Puzzle.htm

[4]   http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Puzzle_3/Puzzle_3.htm

[5]   https://oeis.org