Hans Walser, [20180120a]
Folge von pythagoreischen Dreiecken
1 Zahlenfolgen
Wir definieren rekursiv drei Zahlenfolgen:
(1)
Man
beachte das Minuszeichen in der Rekursion von 
.
Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte.
|
n |
an |
bn |
cn |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
5 |
12 |
13 |
|
3 |
7 |
24 |
25 |
|
4 |
9 |
40 |
41 |
|
5 |
11 |
60 |
61 |
|
6 |
13 |
84 |
85 |
|
7 |
15 |
112 |
113 |
|
8 |
17 |
144 |
145 |
|
9 |
19 |
180 |
181 |
|
10 |
21 |
220 |
221 |
Tab. 1: Werte
Die Zahlentripel sind offenbar pythagoreische Tripel. Es werden allerdings nicht alle pythagoreischen Tripel generiert.
Die Werte an sind die ungeraden Zahlen.
Die Werte bn und cn unterscheiden sich nur um 1.
2 Explizite Formeln
Explizit ist:
(2)
Nachweis induktiv.
Weiter ist:
(3)
Es handelt sich wirklich um pythagoreische Tripel.
Aus (2) geht auch die Differenz von 1 zwischen bn und cn hervor.
3 Illustration
Die Abbildung 1 zeigt einen Illustrationsversuch. Jedes pythagoreische Dreieck ist zwei Mal gezeichnet.
Abb. 1: Die Rekursion