Hans Walser, [20260617]
Folge und Grenzwert
Anregung: B. O.-V., V.
1 Die Folge
Wir bearbeiten die Folge:
(1) 
Die Tabelle 1 zeigt die ersten 30 Folgenglieder:
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n |
an |
an |
|
n |
an |
an |
|
n |
an |
an |
|
1 |
13/3 |
4.333333333 |
|
11 |
43/13 |
3.307692308 |
|
21 |
73/23 |
3.173913043 |
|
2 |
4 |
4. |
|
12 |
23/7 |
3.285714286 |
|
22 |
19/6 |
3.166666667 |
|
3 |
19/5 |
3.800000000 |
|
13 |
49/15 |
3.266666667 |
|
23 |
79/25 |
3.160000000 |
|
4 |
11/3 |
3.666666667 |
|
14 |
13/4 |
3.250000000 |
|
24 |
41/13 |
3.153846154 |
|
5 |
25/7 |
3.571428571 |
|
15 |
55/17 |
3.235294118 |
|
25 |
85/27 |
3.148148148 |
|
6 |
7/2 |
3.500000000 |
|
16 |
29/9 |
3.222222222 |
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26 |
22/7 |
3.142857143 |
|
7 |
31/9 |
3.444444444 |
|
17 |
61/19 |
3.210526316 |
|
27 |
91/29 |
3.137931034 |
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8 |
17/5 |
3.400000000 |
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18 |
16/5 |
3.200000000 |
|
28 |
47/15 |
3.133333333 |
|
9 |
37/11 |
3.363636364 |
|
19 |
67/21 |
3.190476190 |
|
29 |
97/31 |
3.129032258 |
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10 |
10/3 |
3.333333333 |
|
20 |
35/11 |
3.181818182 |
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30 |
25/8 |
3.125000000 |
Tab. 1: Erste Folgenglieder
Die Abb. 1 zeigt eine entsprechende Punktdarstellung.
Abb. 1: Punktdarstellung
2 Umformung
Wir formen um:
(2) 
Der Trick erinnert an die „quadratische Ergänzung“ beim Lösen einer quadratischen Gleichung.
Es ist also:
(3) 
3 Grenzwert und Monotonie
Der zweite Summand von (3) ist eine monoton fallende Nullfolge. Daher ist der konstante erste Summand 3 der Grenzwert der Folge. Die Folge ist monoton fallend.