Hans Walser, [20240830]

Formel im Viereck

Anregung: Hans Humenberger, Wien

1     Worum es geht

Eine Formel im allgemeinen Viereck

Seiten, Diagonalen, Schnittwinkel der Diagonalen

2     Formel

Wir verwenden die Bezeichnungen gemäß Abbildung 1.

Ein Bild, das Mond, Dunkelheit, Schwarz, Nacht enthält. Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 1: Viereck mit Diagonalen

Es gilt:

 

            a2 – b2 + c2 – d2 = –2ef cos(ϕ)

 

3     Herleitung

Wir bezeichnen die Abschnitte vom Diagonalenschnittpunkt zu den Ecken gemäß Abbildung 2.

Ein Bild, das Mond, Dunkelheit, Schwarz, Nacht enthält. Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 2: Diagonalenabschnitte

Der Kosinussatz liefert:

 

            a2 = p2 + q2 – 2pq cos(ϕ)

            b2 = q2 + r2 + 2qr cos(ϕ)

            c2 = r2 + s2 – 2rs cos(ϕ)

            d2 = s2 + p2 + 2sp cos(ϕ)

 

Für die alternierende Summe a2 – b2 + c2 – d2 der Seitenquadrate erhalten wir:

 

            a2 – b2 + c2 – d2 = ­–2cos(ϕ) (pq + qr + rs + sp)

 

Umformen ergibt:

 

            a2 – b2 + c2 – d2 = ­–2cos(ϕ) (p(q + s) + r(q+s))

            a2 – b2 + c2 – d2 = ­–2cos(ϕ) (p + r)(q + s)
            a2 – b2 + c2 – d2 = ­–2cos(ϕ) ef

 

Für ϕ ≠ π/2 ist:

 

            ef = – (a2 – b2 + c2 – d2)/2/cos(ϕ)

 

4     Orthodiagonales Viereck

Im Sonderfall eines orthodiagonalen Vierecks ist ϕ = π/2 und damit:

 

a2 – b2 + c2 – d2 = 0

 

a2 + c2 = b2 + d2

 

Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt.

Abb. 3: Rot = blau