Hans Walser, [20141203a]

Funktionenfolge

1     Worum geht es?

Es wird eine Funktionenfolge besprochen, die mit dem Goldenen Schnitt zu tun hat.

2     Die Folge der Funktionen

Zu  definieren wir die Funktion

 

Die Abbildung 1 zeigt die Funktionsgrafen fŸr . FŸr gerade n sind die Funktionsgrafen rot, fŸr ungerade n blau gezeichnet.

 

Abb. 1: Funktionsgrafen

 

3     Gemeinsame Punkte

FŸr ungerades n haben alle Funktionen eine Nullstelle bei . Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Funktionenfolge.

FŸr gerades n verlaufen alle Funktionsgrafen durch . Auch diese folgt unmittelbar aus der Definition der Funktionenfolge.

FŸr alle  verlaufen die Funktionsgrafen durch . Ebenfalls trivial.

Und nun wird es spannend. Mit der Bezeichnung  (Goldener Schnitt) verlaufen alle Funktionsgrafen durch  und . FŸr den Beweis verwenden wir die Relation . Es ist dann:

 

 

Analog ist:

 

4     Nullstellen

FŸr gerade n haben wir die Nullstelle  sowie eine zweite, positive Nullstelle im Intervall . FŸr ungerade n haben wir eine einzige Nullstelle, diese liegt im Intervall . Die Tabelle 1 zeigt die Nullstellen in AbhŠngigkeit von n.

 

n

Nullstelle

 

 

n

Nullstelle

 

 

n

Nullstelle

1

0.

 

 

17

1.617830929

 

 

33

1.618033897

2

1.

 

 

18

1.617908582

 

 

34

1.618033932

3

1.324717957

 

 

19

1.617956520

 

 

35

1.618033954

4

1.465571232

 

 

20

1.617986125

 

 

36

1.618033967

5

1.534157745

 

 

21

1.618004414

 

 

37

1.618033975

6

1.570147312

 

 

22

1.618015713

 

 

38

1.618033980

7

1.590005374

 

 

23

1.618022695

 

 

39

1.618033984

8

1.601347334

 

 

24

1.618027009

 

 

40

1.618033986

9

1.607982728

 

 

25

1.618029675

 

 

41

1.618033987

10

1.611930397

 

 

26

1.618031323

 

 

42

1.618033988

11

1.614306823

 

 

27

1.618032341

 

 

43

1.618033988

12

1.615749203

 

 

28

1.618032970

 

 

44

1.618033988

13

1.616629684

 

 

29

1.618033359

 

 

45

1.618033988

14

1.617169296

 

 

30

1.618033600

 

 

46

1.618033989

15

1.617500905

 

 

31

1.618033748

 

 

47

1.618033989

16

1.617705070

 

 

32

1.618033840

 

 

48

1.618033989

Tab. 1: Nichtnegative Nullstelle

 

Die Nullstellen streben gegen den Goldenen Schnitt . Eigentlich ist das schon aus der Abbildung 1 klar.

Beweisskizze: Wir haben die Gleichung

 

zu lšsen. FŸr x > 1 kann dies umgeformt werden zu:

 

 

 

FŸr  verschwindet der Stšrterm  und es bleibt die quadratische Gleichung  mit der Lšsung  Ÿbrig.

5     Rekursive Definition

Die Funktionenfolge kann rekursiv definiert werden:

 

 

Damit lassen sich die gemeinsamen Punkte (Abschnitt 3) ebenfalls nachweisen.

6     Ein Kreis

Vier der in Abschnitt 3 beschriebenen Punkte liegen auf einem Kreis (Abb. 2). Dieser hat den Mittelpunkt  und den Radius .

 

Abb. 2: Kreis