1 Worum es geht

Einem Quadrat sollen drei flächengleiche Dreiecke einbeschrieben werden. Die Quadratseiten werden im Goldenen Schnitt unterteilt. Illustration der Flächengleichheit durch Zerlegungsgleichheit.

2 Problemstellung

Einem Quadrat sollen drei flächengleiche Dreiecke einbeschrieben werden (Abb. 1). Zwei der drei Dreiecke sind rechtwinklig mit rechten Winkeln in Quadratecken, das dritte gleichschenklig.

Abb. 1: Drei Dreiecke

3 Lösung

Die Basispunkte des gleichschenkligen Dreiecks unterteilen die Quadratseiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Beweis durch Nachrechnen. Ein rechtwinkliges Dreieck der Lösung ist also ein entlang einer Diagonalen halbiertes Goldenes Rechteck.

4 Zerlegung

Die Abbildung 2 illustriert die Zerlegungsgleichheit des gleichschenkligen Dreiecks mit dem unteren der beiden rechtwinkligen Dreiecke. Entsprechende Teilflächen gehen entweder durch Translation (grün und hellblau) oder durch Punktspiegelung (gelb, magenta und Purpur) auseinander hervor. Wir benötigen fünf Teilflächen.

Abb. 2: Gemeinsame Zerlegung

Durch Spiegeln an einer Quadratdiagonalen ergibt sich auch noch die Zerlegung des anderen rechtwinkligen Dreiecks (Abb. 3).

Abb. 3: Vollständige gemeinsame Zerlegung

Literatur

Schröder, Roland (2025): Schulmathematik Wie sie ist und wie sie sein könnte. Edition Winterwork. Borsdorf. ISBN 978-3-98913-159-0.

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7