Hans Walser, [20230105]

Gärtnerkonstruktion

Anregung: R. B.

1 Worum geht es?

Verallgemeinerung der klassischen „Gärtnerkonstruktion“ (Abstandsdefinition) der Ellipse. Schließungsfigur mit Ellipsenbögen

2 Klassische Gärtnerkonstruktion

Wir beginnen mit zwei Punkten (Pfähle) und einer geschlossenen Schnur, deren Gesamtlänge größer als der doppelte Abstand der beiden Punkte ist. Dann spannen wir die Schnur mit einem roten Schreibstift. So ergibt sich eine Ellipse (Abb. 1).

Abb. 1: Die klassische Gärtnerkonstruktion

Wie kann die Konstruktion so verallgemeinert werden, dass man mit drei gegebenen Punkten (Pfählen) arbeitet?

Dazu als Vorbereitung eine Schließungsfigur.

3 Eine Schließungsfigur

Wir arbeiten mit drei Punkten, welche mit den Farbe rot / grün / blau markiert sind. Jeweils zwei von ihnen dienen als Brennpunkte einer Ellipse. Rote Ellipsen haben grüne und blaue Brennpunkte, grüne Ellipsen blaue und rote Brennpunkte und blaue Ellipsen rote und grüne Brennpunkte (zyklische Färbung).

Die Abbildung 2 zeigt die Konstruktion der Schließungsfigur. Der schwarze Startpunkt kann rechts außerhalb des Dreieckes auf der blauen Geraden beliebig gewählt werden. Es gibt daher beliebig viele solcher Schließungsfiguren.

Abb. 2: Konstruktion der Schließungsfigur

Die Schließungsfigur ist aus sechs Ellipsenbögen zusammengesetzt. Sie ist deutlich erkennbar zwetschgenförmig (Abb. 3).

Abb. 3: Schließungsfigur

Sie hat aber eine bemerkenswerte Eigenschaft: die sechs schwarzen Übergangspunkte liegen auf einer Ellipse (orange in Abb. 4 und 5). Die Schließungsfigur weicht nur wenig von dieser Ellipse ab.

Abb. 4: Übergangspunkte auf Ellipse

Abb. 5: Ellipse

4 Gärtnerkonstruktion

Die Abbildung 6 zeigt, wie die Schließungsfigur sich zur Gärtnerkonstruktion mit drei Punkten verhält. Die Gesamtlänge der geschlossenen Schnur muss größer als der Umfang des durch die drei Punkte definierten Dreieckes sein.

Abb. 6: Gärtnerkonstruktion

5 Ausblick

Analoge Konstruktion mit sechs Hyperbelbögen oder gemischt (Ellipsen und Hyperbeln)

Gärtnerkonstruktion mit vier oder mehr Punkten

Websites

Hans Walser: Schließungsfiguren

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schliessungsfiguren/

Hans Walser: Schlusskegelschnitte

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schlussstriche/Kegelschnitte_001-100_int.html