Hans Walser, [20131110]
Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
1 Basisfigur
Die Abbildung 1 zeigt die Basisfigur. In einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠnge 8 kšnnen wir Ecktransversalen der SeitenlŠnge 7 einzeichnen. Beweis durch Nachrechnen.
Abb. 1: Basisfigur
Die Abbildung 2 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.
Abb. 2: Lochstreifenmodell
2 Dreieck im Dreieck
In der Abbildung 3 ist einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠnge 11 ein gleichseitiges Dreieck der SeitenlŠnge 7 einbeschrieben.
Abb. 3: Einbeschriebenes Dreieck
Die Abbildung 4 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.
Abb. 4: Lochstreifenmodell
3 Sechseck im Sechseck
Die Abbildung 5 zeigt ein Sechseck mit SeitenlŠnge 8 mit einbeschriebenem Sechseck der SeitenlŠnge 7.
Abb. 5: Einbeschriebenes Sechseck
Die Abbildung 6 zeigt das entsprechende Lochstreifenmodell.
Abb. 6: Lochstreifenmodell
4 Hintergrund
4.1 Generierende Formeln
Analog zu den
pythagoreischen rechtwinkligen Dreiecken gibt es pythagoreische Dreiecke mit
einem Winkel von 60ˇ oder von 120ˇ. Das geht so: Wir wŠhlen zwei Zahlen 
mit folgenden Eigenschaften: 
, 
, 
Nun berechnen wir a, b, c nach einem der drei FormelsŠtze (i), (ii), (iii).
(i): 
(ii): 
(iii): 
In den FŠllen (i) und
(ii) erhalten wir ein Dreieck mit dem Winkel 
, im Fall (iii) ein Dreieck mit dem Winkel 
. Der Nachweis kann mit dem Kosinussatz gefźhrt
werden.
Alle drei FormelsŠtze sind homogen vom zweiten Grad.
Formelsatz (i) ist
symmetrisch in u und v. Hier kann die Bedingung 
weggelassen werden.
Aus dem Formelsatz (ii) ergibt sich
fźr u = 1 und v = 0 das gleichseitige Dreieck der SeitenlŠnge 1.
Ich wei§ nicht, ob man mit diesen
Formeln alle pythagoreischen Dreiecke mit Winkeln von 60ˇ oder 120ˇ erhŠlt.
4.2 Beispiel
Wir wŠhlen jeweils u = 2 und v = 1.
Formelsatz (i) liefert: a = 8, b = 5 und c = 7. Die Abbildung 7, welche auf der Abbildung 1 basiert, zeigt das Dreieck.
Abb. 7: 8-5-7-Dreieck
Formelsatz (ii) ergibt: a = 3, b = 8 und c = 7 (Abb. 8). Das Dreieck ist komplementŠr zum Dreieck der Abbildung 7.
Abb. 8: 3-8-7-Dreieck
Formelsatz (iii) fźhrt zu: a = 3, b = 5 und c = 7 (Abb. 9). Das Dreieck ergibt sich aus dem Dreieck der Abbildung 7 oder 8 durch Abschneiden eines gleichseitigen Dreieckes.
Abb. 9: 3-5-7-Dreieck
Die Tabelle gibt die ersten nach Formelsatz (i) berechneten Werte.
|
u |
v |
a |
b |
c |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
8 |
5 |
7 |
|
3 |
1 |
15 |
7 |
13 |
|
3 |
2 |
21 |
16 |
19 |
|
4 |
3 |
40 |
33 |
37 |
|
5 |
1 |
35 |
11 |
31 |
|
5 |
3 |
55 |
39 |
49 |
|
5 |
4 |
65 |
56 |
61 |
|
6 |
1 |
48 |
13 |
43 |
|
6 |
5 |
96 |
85 |
91 |
|
7 |
2 |
77 |
32 |
67 |
|
7 |
3 |
91 |
51 |
79 |
|
7 |
5 |
119 |
95 |
109 |
|
7 |
6 |
133 |
120 |
127 |
|
8 |
1 |
80 |
17 |
73 |
|
8 |
3 |
112 |
57 |
97 |
|
8 |
7 |
176 |
161 |
169 |
|
9 |
1 |
99 |
19 |
91 |
|
9 |
2 |
117 |
40 |
103 |
|
9 |
4 |
153 |
88 |
133 |
|
9 |
5 |
171 |
115 |
151 |
|
9 |
7 |
207 |
175 |
193 |
|
9 |
8 |
225 |
208 |
217 |
|
10 |
3 |
160 |
69 |
139 |
|
10 |
9 |
280 |
261 |
271 |
Tab. 1: Nach Formelsatz (i)
Literatur
[Hasse 1977] Hasse, Helmut: Ein Analogon zu den ganzzahligen pythagorŠischen Dreiecken. Elemente der Mathematik 32 (1977), Seiten 1-6.
[Hoehn/Walser 2003] Hoehn, Alfred und Hans Walser: Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 2003, S. 215 – 217
[Walser 1995] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.
[Walser 1999] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. BeitrŠge zum Mathematikunterricht 1999. VortrŠge auf der 33. Tagung fźr Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. Fźr die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577
[Walser 2000] Walser, Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt fźr Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35