Hans Walser, [20101226a]
Gleichschenkliges Gelenktrapez
Anregung: B. Z., V.
Aus zwei gegenŸberliegenden Seiten und den beiden Diagonalen eines Rechteckes bilden wir ein Gelenkmodell. Dieses lŠsst sich zu einem gleichschenkligen Trapez verformen.
Gelenktrapez
Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Gelenktrapezes besprochen.
Wir normieren die SchenkellŠnge auf 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung.
Bezeichnungen
FŸr (i) ist das Ausgangsrechteck im Hochformat, fŸr (ii) haben wir ein Quadrat als Ausgangsrechteck und fŸr (iii) ist das Ausgangsrechteck im Querformat. Wir werden diese zunŠchst rein geometrische Fallunterscheidung spŠter wieder antreffen.
Weiter ist . FŸr ist das Trapez ãflachÒ, es hat keinen FlŠcheninhalt. FŸr haben wir das Ausgangsrechteck.
Aus SymmetriegrŸnden ist der FlŠcheninhalt fŸr das Ausgangsrechteck extremal. Die Frage ist, ob es sich dabei um ein (lokales) Maximum oder ein lokales Minimum handelt.
Wir berechnen den FlŠcheninhalt in AbhŠngigkeit von p. Es ist:
FŸr die Bestimmung der Extrema genŸgt es, den Radikanden zu untersuchen.
Aus ergibt sich:
Eine erste Lšsung ist . Das ist der Fall des Ausgangsrechteckes. FŸr weitere Lšsungen muss gelten:
Das gibt Anlass zur schon bekannten Fallunterscheidung:
(i) : Wir haben drei reelle Lšsungen. Es ist:
FŸr (symmetrischer Fall des Ausgangsrechteckes) haben wir ein lokales Minimum, links und rechts davon je ein Maximum.
Die Abbildung zeigt die Situation fŸr .
Kamelhšcker. Ausgangsrechteck Hochformat
(ii) : In diesem Fall ist . Wir haben eine dreifache Nullstelle der ersten Ableitung. Weiter ist . Wir kšnnen von da her keine Aussage Ÿber die Art des Extremums machen. Es ist aber . FŸr haben wir daher das Maximum.
Quadrat als Ausgangsrechteck
(iii) : In diesem Fall sind und rein imaginŠr. Die einzige reelle Extremalstelle ist . Wegen haben wir ein Maximum. Die Abbildung zeigt die Situation fŸr .
Maximum. Ausgangsrechteck Querformat
Wir fixieren die Punkte A und D des Ausgangsrechtecks. Dann bewegt sich der Diagonalenschnittpunkt S auf einer Ellipse.
Ellipse
Die Ellipse hat die Brennpunkte A und D und ist durch bestimmt. Die TŸcke liegt im Detail: DGS (Cabri) kommt nicht Ÿber den ãtoten PunktÒ hinweg. Daher mŸsste die zweite HŠlfte separat gezeichnet werden.
Es sei V der Mittelpunkt der Seite BC des Gelenktrapezes. Wo bewegt sich der Punkt V bei Fixierung der Punkte A und D?
DGS zeigt das Beispiel fŸr . Wiederum kann wegen des toten Punktes nur eine HŠlfte generiert werden.
Noch eine Kurve
Wir kšnnen die Kurve parametrisieren, indem wir setzen. Dabei ist der Winkel des Gelenktrapezes an der Ecke A. Mit U als Mittelpunkt der Seite DA ist die Strecke UV die Mittellinie des Gelenktrapezes. Diese hat die LŠnge:
Ferner hat die Mittellinie gegenŸber der Vertikalen den Winkel . Mit und ergibt sich fŸr die gesuchte Kurve die Parameterdarstellung:
Die Abbildungen zeigen der Reihe nach die Situationen fŸr . Es ist interessant, sich den Fall als Gelenkmodell vorzustellen.
Mittelpunktskurven