Hans Walser, [20101226a]
Gleichschenkliges Gelenktrapez
Anregung: B. Z., V.
Aus zwei gegenŸberliegenden Seiten und den beiden Diagonalen eines Rechteckes bilden wir ein Gelenkmodell. Dieses lŠsst sich zu einem gleichschenkligen Trapez verformen.
Gelenktrapez
Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Gelenktrapezes besprochen.
Wir normieren die SchenkellŠnge auf 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung.
Bezeichnungen
FŸr (i) ist das
Ausgangsrechteck im Hochformat, fŸr (ii)
haben wir ein
Quadrat als Ausgangsrechteck und fŸr (iii)
ist das Ausgangsrechteck
im Querformat. Wir werden diese zunŠchst rein geometrische Fallunterscheidung
spŠter wieder antreffen.
Weiter
ist . FŸr
ist das Trapez
ãflachÒ, es hat keinen FlŠcheninhalt. FŸr
haben wir das
Ausgangsrechteck.
Aus SymmetriegrŸnden ist der FlŠcheninhalt fŸr das Ausgangsrechteck extremal. Die Frage ist, ob es sich dabei um ein (lokales) Maximum oder ein lokales Minimum handelt.
Wir
berechnen den FlŠcheninhalt in AbhŠngigkeit
von p. Es ist:
FŸr die Bestimmung der Extrema genŸgt es, den Radikanden zu untersuchen.
Aus ergibt sich:
Eine
erste Lšsung ist . Das ist der Fall des Ausgangsrechteckes. FŸr weitere Lšsungen
muss gelten:
Das gibt Anlass zur schon bekannten Fallunterscheidung:
(i) : Wir
haben drei reelle Lšsungen. Es ist:
FŸr (symmetrischer
Fall des Ausgangsrechteckes) haben wir ein lokales Minimum, links und rechts
davon je ein Maximum.
Die
Abbildung zeigt die Situation fŸr .
Kamelhšcker. Ausgangsrechteck Hochformat
(ii) : In
diesem Fall ist
. Wir haben eine dreifache Nullstelle der ersten Ableitung.
Weiter ist
. Wir kšnnen von da her keine Aussage Ÿber die Art des Extremums
machen. Es ist aber
. FŸr
haben wir daher
das Maximum.
Quadrat als Ausgangsrechteck
(iii) : In
diesem Fall sind
und
rein imaginŠr.
Die einzige reelle Extremalstelle ist
. Wegen
haben wir ein
Maximum. Die Abbildung zeigt die Situation fŸr
.
Maximum. Ausgangsrechteck Querformat
Wir fixieren die Punkte A und D des Ausgangsrechtecks. Dann bewegt sich der Diagonalenschnittpunkt S auf einer Ellipse.
Ellipse
Die Ellipse hat die Brennpunkte A und D und ist durch bestimmt. Die
TŸcke liegt im Detail: DGS (Cabri) kommt nicht Ÿber den ãtoten PunktÒ hinweg.
Daher mŸsste die zweite HŠlfte separat gezeichnet werden.
Es sei V der Mittelpunkt der Seite BC des Gelenktrapezes. Wo bewegt sich der Punkt V bei Fixierung der Punkte A und D?
DGS zeigt
das Beispiel fŸr . Wiederum kann wegen des toten Punktes nur eine HŠlfte generiert
werden.
Noch eine Kurve
Wir
kšnnen die Kurve parametrisieren, indem wir setzen. Dabei ist
der Winkel des
Gelenktrapezes an der Ecke A. Mit U als Mittelpunkt der Seite DA ist die Strecke UV die Mittellinie des Gelenktrapezes. Diese hat die LŠnge:
Ferner
hat die Mittellinie gegenŸber der Vertikalen den Winkel . Mit
und
ergibt sich fŸr
die gesuchte Kurve die Parameterdarstellung:
Die
Abbildungen zeigen der Reihe nach die Situationen fŸr . Es ist interessant, sich den Fall
als Gelenkmodell
vorzustellen.
Mittelpunktskurven