Hans Walser, [20090526a]
Geometrische Fibonacci-Folge
1
Worum es geht
1.1
Beispiel
Wir arbeiten mit der
Matrix
und dem Startvektor:
Damit bilden wir die
geometrische Vektorfolge:
Die Folge 
lŠsst
erkennen, dass die Vektoren aus
den Fibonacci-Zahlen gebildet sind.
Fibonacci-Vektoren
Die Vektoren genźgen
der źblichen Fibonacci-Rekursion:
Die Figur zeigt die
Vektoren 
.
Vektoren
Die Vektoren werden
zwar immer lŠnger, konvergieren aber gegen eine Grenzrichtung.
Da die Matrix Q regulŠr ist, funktioniert die Folge auch fźr
negative Indizes. Als Beispiele 
:
Negative Indizes
Die folgende Figur
zeigt die Vektoren 
:
Vektoren auch mit
negativen Indizes
Die beiden Vektoren 
und 
sind gleich lang
und orthogonal. Der Zwischenwinkel ist alternieren 
.
Die Matrix q hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren:
Hier erscheint der
goldene Schnitt.
Wir normieren die
Vektoren 
so, dass der
obere Eintrag eine 1 wird. Beispiel:
Dann gilt:
Die Vektoren 
nŠhern sich also
steigungsmŠ§ig den Eigenvektoren, werden aber beliebig lang.
1.2
Beispiel
Wir verwenden die
gleiche Matrix Q, aber den Startvektor:
Damit erhalten wir:
Anderer Startvektor
Es handelt sich hier um
die Lucas-Zahlen, welche dieselbe Rekursion haben wie die Fibonacci-Zahlen. Die
Rekursionsformel steckt offenbar in der Matrix Q. Die beiden Startwerte packen wir in den Startvektor.
2
Allgemein
Wir verwenden die
Matrix (der Faktor 2 im Element rechts unten hat nur Šsthetische Bedeutung, die
Formeln werden dann einfacher)
und den Startvektor:
Damit bilden wir die
geometrische Vektorfolge:
Zum Vergleich verwenden
wir die Rekursionsformel
und die Startwerte 
und 
.
Dann gilt:
Beweis induktiv:
ZunŠchst ist:
Induktionsschritt:
3
Link mit der Formel von Binet
Eine Folge mit der
Rekursion 
und den Startwerten
und 
kann explizit
dargestellt werden durch:
Dabei ist:
Beweis induktiv mit
einiger Rechnung.
Wir haben also, ohne
die Verwendung der Matrix Q, eine
Linearkombination von zwei
geometrischen Folgen mit den Basen 
und 
. Diese Basen sind aber genau die Eigenwerte der Matrix Q.