Hans Walser, [20170219]
Geometrische Folgen mit Kreisen
Es werden zwei Beispiele von Kreisfolgen besprochen, deren Radien im Sinne einer geometrischen Folge abnehmen.
Beweise rechnerisch.
Wir beginnen mit dem Einheitskreis und halbieren sukzessive die Radien (Abb. 1).
Abb. 1: Halbieren der Radien
Die Kreise kšnnen linear aneinandergereiht werden (Abb. 2).
Abb. 2: Reihe
Die Reihe ab dem zweiten Glied passt in einen Kreis der Grš§e des ersten Kreises (Abb. 3).
Abb. 3: Einpassen
Die Abbildung 4 zeigt eine symmetrische Darstellung der Situation.
Abb. 4: Symmetrische Darstellung
Die Kreisfiguren kšnnen so angeordnet werden, dass die zweitgrš§ten Kreise sich berźhren (Abb. 5).
Abb. 5: Die zweitgrš§ten Kreise berźhren sich
Die Figur lŠsst sich in ein Rechteck einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Einpassen ins Rechteck
Dieses Rechteck setzt sich aus zwei im Querformat aneinandergefźgten Rechtecke im DIN-Format zusammen (Abb. 7). Die Diagonalen der DIN-Rechtecke schneiden sich in den Berźhrungspunkten der zweitgrš§ten Kreise. Zum DIN-Format siehe (Walser, 2013a).
Abb. 7: Link zum DIN-Format
Umgekehrt kšnnen zwei Figuren der Abbildung 5 in ein gro§es DIN-Rechteck eingepackt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Nochmals Link zum DIN-Format
Es sei (Goldner Schnitt, siehe Walser, 2013b):
(1)
Wir arbeiten nun mit einer Folge von Kreisen mit den Radien:
(2)
Die Abbildung 9 zeigt die Kreise.
Abb. 9: Abnahme im Goldenen Schnitt
Die Kreise kšnnen linear angeordnet werden (Abb. 10).
Abb. 10: Reihe
Die Reihe ab dem dritten Glied passt in einen Kreis der Grš§e des ersten Kreises (Abb. 11).
Abb. 11: Einpassen
Die Abbildung 12 zeigt eine symmetrische Darstellung.
Abb. 12: Symmetrische Darstellung
Literatur
Walser, Hans (2013a): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Walser, Hans (6. Auflage). (2013b). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.