Hans Walser, [20200202]

Geometrische Reihe

1     Worum geht es?

Illustration der geometrischen Reihe

 

                                                                                                             (1)

 

 

 

 

fŸr n ³ 3.

2     Vorgehen

Wir illustrieren das Vorgehen am Beispiel n = 5, also fŸr die Beziehung:

 

                                                                                                                 (2)

 

 

 

 

Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen n-Eck (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: RegelmŠ§iges n-Eck

Dann zeichnen wir ein zweites, konzentrisches regelmŠ§iges n-Eck, welches gegenŸber dem ersten um den LŠngenfaktor  verkleinert ist, und zwar so, dass seine verlŠngerten Seiten durch die Ecken des ersten n-Eckes verlaufen (Abb. 1.2). Konstruktiv geht das zum Beispiel mit den Inkreisen der beiden n-Ecke und den Tangenten von den Ecken des Šu§eren n-Ecks daran.

Abb. 1.2: Verkleinertes n-Eck

Das innere regelmŠ§ige n-Eck hat gegenŸber dem Šu§eren den relativen FlŠcheninhalt . Die au§enliegenden Dreiecke in der Abbildung 1.2 haben auch je diesen FlŠcheninhalt.

Bemerkung: Diese Dreiecke sind nicht gleichschenklig, also keine so genannten Goldenen Dreiecke (Walser 2013). Das scheint nur so.

Nun fŠrben wir diese Dreiecke individuell (Abb. 1.3). Das rote Dreieck hat also den relativen FlŠcheninhalt .

Abb. 1.3: FŠrbung

Nun fŸgen wir in das wei§e Loch eine um den LŠngenfaktor  verkleinerte und geeignet gedrehte Kopie der Gesamtfigur ein (Abb. 1.4). Wir sehen, dass Spiralen entstehen.

Abb.1.4: Verkleinerte Kopie im Zentrum

Das kleine rote Dreieck hat den relativen FlŠcheninhalt . Die beiden roten Dreiecke zusammen haben den relativen FlŠcheninhalt . Wir sehen den Anfang der Reihe (1).

Wenn wir so weiterfahren, erhalten wir die Figur der Abbildung 1.5.

Abb. 1.5: Grenzfigur

Wir haben n Spiralen mit je dem relativen FlŠcheninhalt der linken Seite von (1). Damit ist (1) illustriert.

3     Animationen

Im Folgenden Animationen fŸr n = 3, 4, 5, 6, 7, 8.

 

Animation3.GIF

Animation 3

 

Animation4.GIF

Animation 4

 

Animation5.GIF

Animation 5

 

Animation6.GIF

Animation 6

 

Animation7.GIF

Animation 7

 

Animation8.GIF

Animation 8

 

Websites

Hans Walser: Geometrische Reihe

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe2/Geom_Reihe2.htm

 

Hans Walser: Geometrische Reihe

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe3/Geom_Reihe3.htm

 

Hans Walser: Geometrische Reihe

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe4/Geom_Reihe4.htm

 

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.