Hans Walser, [20120502]
Gewichtete Summen im Pascal-Dreieck
1
Die Formel
Es ist:
Die Gewichtung ist rot
markiert.
2
Beispiel und Illustration
Wir berechnen den Fall 
:
Die Abbildung 1
illustriert die Situation im Pascal-Dreieck.
Abb. 1: Situation im
Pascal-Dreieck
3
Beweis
Der Beweis lŠuft
induktiv źber s.
Fźr 
haben wir die
triviale Aussage 
.
Fźr 
ergibt sich:
Der letzte Schritt ist
die źbliche Rekursion der Binomialkoeffizienten.
Induktionsannahme: Es
gelte:
Wegen 
gilt sogar:
Nun transformieren wir
die Variablen t und k wie folgt:
Damit erhalten wir aus 
:
Wegen 
kšnnen wir sogar
schreiben:
Nun schreiben wir die
Variablen erneut um, und zwar:
Damit erhalten wir:
Nun addieren wir die
beiden Formeln:
Wir erhalten:
Somit gilt:
Damit ist auch der
Induktionsschritt in Ordnung und die Summenformel bewiesen.
4 SonderfŠlle
Fźr 
ergibt sich die
bekannte Rekursionsformel:
Fźr 
und 
erhalten wir:
Dies kann in der Form
geschrieben werden.
Die Formel funktioniert
auch fźr negative k, sowie Werte mit 
, da wir ăau§enŇ Nullen haben.
Fźr den Fall 
erhalten wir:
Die Abbildung 2
illustriert diesen Sachverhalt.
Abb. 2: Nullen au§erhalb
links
Fźr den Fall 
erhalten wir:
Die Abbildung 3 illustriert dieses Beispiel.
Abb. 3: Nullen au§erhalb
rechts